Точки A (1; 3; –1), B (2; 1; 2), C (1; –2; 1) є вершинами паралелограма ABCD. Знайдіть координати вершини D.

Часто говорят также "определитель матрицы", поэтому сначала объясним, что такое матрица. Матрица - это прямоугольная таблица, составленная из чисел, которые нельзя менять местами. Квадратная матрица - таблица, у которой число строк и число столбцов одинаково. Определитель может быть только у квадратной матрицы.

Итак, пусть дана квадратная таблица, состоящая из чисел, расположенных в n строках (горизонтальных рядах) и в n столбцах (вертикальных рядах). С этих чисел по некоторым правилам, которые мы изучим ниже, находят число, которое и называют определителем n-го порядка и обозначают следующим образом:

Решение.
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая - то обозначим длину AM = a, длину  KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK - прямоугольник.

Значит
AD = AM+BC+KD
a + 5 + b = 10
a = 5 - b

Треугольники DBM и ACK - прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

h2 + (10 - a)2 = 92
и
h2 + (10 - b)2 = 122

Учтем, что a = 5 - b , тогда в первом уравнении
h2 + (10 - 5 + b)2 = 81
h2  = 81 - (5 + b)2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
  81- (5 + b)2 + (10 - b)2  = 144
-(25 + 10b + b)2 + (10 - b)2 = 63
-25 - 10b - b2 + 100 - 20b + b2  = 63
-30b = -12
b = 0,4

Таким образом, KD = 0,4
Откуда
h2  = 81 - (5 + b)2 = 81 - (5 + 0,4)2 = 51,84
h = 7,2

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b - основания трапеции, h - высота трапеции
S = (10 + 5) * 7,2 / 2 = 54 см2

ответ: площадь трапеции равна 54 см2.