Решите уравнение: │x2-5x│= 5x-x2

если квадратный трехчлен aх2+bx+c представлен в виде a(х+p)2+q, где p и q — действительные числа, то говорят, что из квадратного трехчлена выделен квадрат двучлена.

покажем на примере как это преобразование делается.

выделим из трехчлена 2x2+12x+14 квадрат двучлена.

вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2:

2

x

2

+

12

x

+

14

=

2

(

x

2

+

6

x

+

7

)

преобразуем выражение в скобках.

для этого представим 6х в виде произведения 2*3*х, а затем прибавим и вычтем 32. получим:

2

(

x

2

+

2

⋅

3

⋅

x

+

3

2

−

3

2

+

7

)

=

2

(

(

x

+

3

)

2

−

3

2

+

7

)

=

 

=

2

(

(

x

+

3

)

2

−

2

)

=

2

(

x

+

3

)

2

−

4

т.о. мы выделили квадрат двучлена из квадратного трехчлена, и показоли, что:

2

x

2

+

12

x

+

14

=

2

(

x

+

3

)

2

−

4

разложение на множители квадратного трехчлена

если квадратный трехчлен aх2+bx+c представлен в виде a(х+n)(x+m), где n и m — действительные числа, то говорят, что выполнена операция разложения на множители квадратного трехчлена.

покажем на примере как это преобразование делается.

разложим квадратный трехчлен 2x2+4x-6 на множители.

вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2:

2

x

2

+

4

x

−

6

=

2

(

x

2

+

2

x

−

3

)

преобразуем выражение в скобках.

для этого представим 2х в виде разности 3x-1x, а -3 в виде -1*3. получим:

=

2

(

x

2

+

3

⋅

x

−

1

⋅

x

−

1

⋅

3

)

=

2

(

x

(

x

+

3

)

−

1

⋅

(

x

+

3

)

)

=

=

2

(

x

−

1

)

(

x

+

3

)

т.о. мы разложили на множители квадратный трехчлен, и показоли, что:

2

x

2

+

4

x

−

6

=

2

(

x

−

1

)

(

x

+

3

)

заметим, что разложение на множители квадратного трехчлена возможно только тогда, когда, квадратное уравнение, соответсвующее этому трехчлену имеет корни.

т.е. в нашем случае разложить на множители трехчлен 2x2+4x-6 возможно, если квадратное уравнение 2x2+4x-6 =0 имеет корни. в процессе разложения на множители мы установили, что уравнение 2x2+4x-6 =0 имеет два корня 1 и -3, т.к. при этих значениях уравнение 2(x-1)(x+3)=0 обращается в верное равенство

Решение
Находим первую производную функции:
y' = -( - x + 13)e^(- x + 13) - e^(- x + 13)
или
y' = (x -14)e^(- x + 13)
Приравниваем ее к нулю:
(x - 14) e^(- x + 13) = 0
e^(- x + 13) ≠ 0
x - 14 = 0
x = 14
Вычисляем значения функции 
f(14) = 1/e
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = (- x + 13)e^(- x + 13) + 2e^(- x + 13)
или
y'' = (- x+15)e^(- x + 13)
Вычисляем:
y'' (14) = (- 14+15)e^(- 14 + 13) = e⁻¹ = 1/e
y''(14) = 1/e > 0 - значит точка x = 14 точка минимума функции.