Число 10 представлено в виде трех сомножителей, два из которых представляют собой взаимно обратные числа. Какими должны быть эти сомножители, чтобы их сумма была бы наибольшей.

Без 2=23уч.
5=y
4=x
3=6x
Обозначим четверки за икс ,тогда тройки 6x(так как в шесть раз >.А пятерки оставим за игрек,но при условии,что x>y.
Составим уравнение:
6x+x+y=23
7x+y=23
Теперь будем подбирать значения:
6*1+1+16=23
6*2+2+9=23
6*3+3+2=23
Шесть умножить на четыре мы уже не можем (24>23)
Из этих значений выбираем
одно,но не просто выбираем
,а со смыслом.
Вспомним задачу
3>4>5
Значит пятерок должно быть
<четвертое.
Посмотрим:
1<16
2<9
3>2-вот это нам и нужно.
Трое человек получили- 4,
а двое -5.
ответ:двое учащихся получили пятерки.

Всего монет 20 шт;
достоинства 1р, 2р, 5р
есть ли 7 одинаковых ?
Решение. 
       Докажем от противного. Допустим, что по 7 монет НЕТ ни у какого достоинства, а максимально только по 6
6 + 6 + 6 = 18 (монет)  будет всего монет, если монет каждого достоинства будет только 6;
20 - 18 = 2 (монеты)  остаются монеты, которые надо будет положить к монетам общего с ними достоинства, седьмыми.(Или, если это одинаковые будет 7-я и 8)
ответ: Обязательно имеются 7 монет одинакового достоинства.
Если каких-то монет МЕНЬШЕ 6, то это значит других будет БОЛЬШЕ 6 и 7