Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении на 5 и 12 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим двух крайних цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Сначала рассмотрим условие задачи. Мы ищем трехзначное натуральное число, большее 400, которое при делении на 5 и 12 даёт равные ненулевые остатки.

2. Давайте найдем числа, которые при делении на 5 дают ненулевой остаток. Изучим последовательность чисел, начиная с 400:
- 400: остаток 0 (не подходит)
- 401: остаток 1 (подходит)
- 402: остаток 2 (не подходит)
- 403: остаток 3 (не подходит)
- ...

3. Теперь найдем числа, которые при делении на 12 дают ненулевой остаток:
- 401: остаток 1 (подходит)
- 413: остаток 1 (подходит)
- 425: остаток 1 (подходит)
- ...

4. Теперь у нас есть несколько чисел, которые подходят по первым двум условиям. Найдем число, у которого средняя цифра является средним арифметическим двух крайних цифр.

- Начнем с числа 425: 4+5=9 (среднее арифметическое крайних цифр), средняя цифра 2 (не подходит).
- Попробуем число 437: 4+7=11, средняя цифра 3 (не подходит).
- Продолжим похожим образом и найдем число, которое подходит.

5. После нескольких попыток, мы получим ответ: 457.

Таким образом, 457 - это трехзначное натуральное число, большее 400, которое при делении на 5 и 12 дает равные ненулевые остатки, а средняя цифра является средним арифметическим двух крайних цифр.