1. Найдите значение sin α, если известно, что cosα = 5/13 и α лежит во I четверти: Расписать

х=π/3

Пошаговое объяснение:

основное тригонометрическое тождество:

cos²x+sin²x=1   ⇒  sin²x=1-cos²x

cos2x=cos²x-sin²x=cos²x-(1-cos²x)=2cos²x-1

Дано уравнение:

3cos2x=4-11cosx  

3*(2cos²x-1)+11cosx-4=0

сделаем замену

t=cosx ⇒     -1 ≤ t ≤1 *  (так как косинус угла меняется в этом интервале)

получим квадратное уравнение:

6t²-3+11t-4=0

6t²+11t-7=0

D=b²-4ac=11²+4*6*7=121+168=289

√D=√289=17

t1=(-11-17)/12=-28/12=-2 1/3  не удовл *

t2=(-11+17)/12=6/12=1/2

обратная замена:

сosx=1/2 ⇒

x1=π/3+2πn

x2=-π/3+2πn

учитывая промежуток [0;π] получим ответ:

х=π/3

остальные корни в этот промежуток не входят

ответ: x∈[0;2].

Пошаговое объяснение:

n+1 - й член ряда a(n+1) имеет вид a(n+1)=(x-1)^(n+1)/[2*(n+1)n²]=(x-1)*(x-1)^n/[2*(n+1)²]. Находим отношение n+1 - го члена ряда к n-му: a(n+1)/a(n)=2*n²*(x-1)/[2*(n+1)²]. Так как выражения 2*n² и 2*(n+1)² всегда положительны, то модуль  этого отношения /a(n+1)/a(n)/=/x-1/*2*n²/[2*(n+1)²]. Предел этого выражения при n⇒∞ равен /x-1/ . Составляем неравенство /x-1/<1 и находим его решение: 0<x<2. Поэтому интервал (0;2) является интервалом сходимости для данного ряда. Остаётся исследовать сходимость ряда на концах этого интервала.

1) При x=0 получаем числовой ряд ∑(-1)^n/(2*n²). Ряд, составленный из модулей членов этого ряда, сходится, так его члены 1/(2*n²) меньше соответствующих членов ряда обратных квадратов ∑1/n², который, как известно, сходится. Поэтому в точке x=0 ряд сходится, причём абсолютно.

2) При x=2 получаем ряд ∑1^n/(2*n²)=∑1/(2*n²). Как только что было показано, этот ряд сходится, поэтому и в этой точке ряд сходится.

Поэтому областью сходимости ряда является интервал x∈[0;2].