Ниже приводятся данные о числе деталей, поступающих на конвейер в течение 600 двухминутных интервалов: Число деталей 0 1 2 3 4 5 6 Число интервалов 397 167 29 3 2 1 1 С критерия Пирсона проверить гипотезу о пуассоновском распределении числа деталей при а = 0, 01.

Для начала, давайте разберемся, что такое пуассоновское распределение и критерий Пирсона. Пуассоновское распределение используется для моделирования случайных событий, которые происходят независимо во времени с постоянной интенсивностью. В данном случае, мы хотим проверить, соответствуют ли наши данные пуассоновскому распределению. Критерий Пирсона (или критерий хи-квадрат) используется для проверки гипотезы о связи между наблюдаемыми и ожидаемыми частотами в категориальных данных. В нашем случае, мы будем сравнивать наблюдаемые частоты (число деталей в интервалах) с ожидаемыми частотами, которые мы будем рассчитывать на основе пуассоновского распределения. Теперь перейдем к выполнению задания пошагово. Шаг 1: Рассчитаем ожидаемую частоту для каждого значения числа деталей. Для этого мы будем использовать формулу для расчета ожидаемого значения в пуассоновском распределении: Ожидаемое значение = (n * p^x * e^(-p)) / x! где n - общее число интервалов, p - найденный параметр пуассоновского распределения, x - значение числа деталей Чтобы найти параметр p, мы будем использовать формулу для его оценки: p = Σ (x * f(x)) / Σ f(x) где x - значение числа деталей, f(x) - наблюдаемая частота числа деталей Давайте заполним таблицу с ожидаемыми и наблюдаемыми частотами: Число деталей 0 1 2 3 4 5 6 Наблюдаемые частоты 397 167 29 3 2 1 1 Ожидаемые частоты Чтобы рассчитать ожидаемую частоту для каждого значения числа деталей, воспользуемся формулой: Ожидаемая частота = (600 * p^x * e^(-p)) / x! Для рассчета параметра p, воспользуемся формулой: p = Σ (x * f(x)) / Σ f(x) Давайте выполним рассчеты: Рассчитаем сумму наблюдаемых частот Σ f(x): Σ f(x) = 397 + 167 + 29 + 3 + 2 + 1 + 1 = 600 Теперь рассчитаем значения для каждой ожидаемой частоты: Ожидаемая частота для x=0: p = Σ (x * f(x)) / Σ f(x) = (0 * 397 + 1 * 167 + 2 * 29 + 3 * 3 + 4 * 2 + 5 * 1 + 6 * 1) / 600 = 0.4217 (округлим до 4 знаков после запятой) Ожидаемая частота = (600 * 0.4217^0 * e^(-0.4217)) / 0! = 600 * e^(-0.4217) ≈ 265.46 (округлим до целого числа) Ожидаемая частота для x=1: p = Σ (x * f(x)) / Σ f(x) = (0 * 397 + 1 * 167 + 2 * 29 + 3 * 3 + 4 * 2 + 5 * 1 + 6 * 1) / 600 = 0.4217 (округлим до 4 знаков после запятой) Ожидаемая частота = (600 * 0.4217^1 * e^(-0.4217)) / 1! = 600 * 0.4217 * e^(-0.4217) ≈ 125.59 (округлим до целого числа) Продолжим таким же образом для остальных значений числа деталей. Теперь у нас есть таблица с наблюдаемыми и ожидаемыми частотами: Число деталей 0 1 2 3 4 5 6 Наблюдаемые частоты 397 167 29 3 2 1 1 Ожидаемые частоты 265 126 53 17 7 3 2 Шаг 2: Рассчитаем статистику критерия Пирсона. Для этого мы воспользуемся формулой: χ^2 = Σ ((f(x) - e(x))^2 / e(x)) где f(x) - наблюдаемая частота, e(x) - ожидаемая частота Давайте заполним таблицу с расчетами: Число деталей 0 1 2 3 4 5 6 Наблюдаемые частоты 397 167 29 3 2 1 1 Ожидаемые частоты 265 126 53 17 7 3 2 (f(x) - e(x))^2 / e(x) χ^2 Теперь рассчитаем значения для каждого элемента таблицы: Для x=0: (f(x) - e(x))^2 / e(x) = (397 - 265)^2 / 265 ≈ 66.745 (округлим до 3 знаков после запятой) Для x=1: (f(x) - e(x))^2 / e(x) = (167 - 126)^2 / 126 ≈ 16.256 (округлим до 3 знаков после запятой) Продолжим таким же образом для остальных значений числа деталей. Теперь у нас есть таблица с расчетами: Число деталей 0 1 2 3 4 5 6 Наблюдаемые частоты 397 167 29 3 2 1 1 Ожидаемые частоты 265 126 53 17 7 3 2 (f(x) - e(x))^2 / e(x) 66.745 16.256 7.925 3.265 1.306 0.382 0.038 χ^2 96.917 Шаг 3: Найти критическое значение для выбранного уровня значимости. Мы выбрали уровень значимости а = 0,01, поэтому нам нужно найти критическое значение χ^2 для 6 степеней свободы (количество категорий минус 1) и уровня значимости 0,01. Используя таблицу распределения хи-квадрат, мы находим значение χ^2 = 16.8 для 6 степеней свободы и уровня значимости 0,01. Шаг 4: Сравнить вычисленное значение статистики критерия Пирсона с критическим значением. Поскольку вычисленное значение статистики критерия Пирсона (96.917) больше критического значения (16.8), мы отвергаем нулевую гипотезу о пуассоновском распределении числа деталей. Заключение: При выбранном уровне значимости а = 0,01, у нас достаточно данных, чтобы отвергнуть гипотезу о том, что число деталей на конвейере соответствует пуассоновскому распределению.