Математический анализ. Найти границу последовательности

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение в этой точке можно представить в виде ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, где A – константа, а α(∆x) – бесконечно малая при ∆x → 0.  

Требование дифференцируемости функции в точке эквивалентно существованию производной в этой точке, причем A=f’(x0).

Пусть f(x) дифференцируема в точке x0 и f '(x0)≠0, тогда ∆y=f’(x0)∆x + α∆x, где α= α(∆x) →0 при ∆x→0. Величина ∆y и каждое слагаемое правой части являются бесконечно малыми величинами при ∆x→0. Сравним их: , то есть α(∆x)∆x – бесконечно малая более высокого порядка, чем f’(x0)∆x.  

, то есть ∆y~f’(x0)∆x. Следовательно, f’(x0)∆x представляет собой главную и вместе с тем линейную относительно ∆x часть приращения ∆y (линейная – значит содержащая ∆x в первой степени). Это слагаемое называют дифференциалом функции y=f(x) в точке x0 и обозначают dy(x0) или df(x0). Итак, для произвольных значений x  

dy=f′(x)∆x. (1)  

Полагают dx=∆x, тогда  

dy=f′(x)dx. (2)

f'(x) = -2·x-7  

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю  

-2·x-7 = 0  

Откуда:  

x1 = -7/2

(-∞ ;-7/2)                          (-7/2; +∞)

f'(x) > 0                          f'(x) < 0

функция возрастает функция убывает

В окрестности точки x = -7/2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -7/2 - точка максимума.  

2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.  

f''(x) = -2  

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.  

-2 = 0  

Для данного уравнения корней нет.