В правильній чотирикутній піраміді двогранний кут при основі β = 45°. Знайти кут нахилу бічного ребра до площини основи.

Михаил Ломоносов представил свою рукопись "Явление Венеры на Солнце, наблюденное в Санктпетербургской императорской Академии наук майя 26 дня 1761 года" (Ломоносов, 1761a) к публикации 4 июля 1761 года по старому стилю, и 17 июля 1761 года Санкт-Петербургской императорской Академией наук было напечатано 250 экземпляров работы. Вскоре после этого, вероятно, самим Ломоносовым, был сделан перевод рукописи на немецкий язык (Ломоносов, 1761b), и в августе 1761 года было отпечатано 250 экземпляров этого перевода для широкого распространения заграницей. На рис.1 представлен лист с иллюстрациями из немецкого перевода. Полный перевод работы на английский язык с обширными комментариями появился недавно (Шильцев, 2012).

Ломоносов проводил наблюдения в своем имении в Санкт-Петербурге (современный адрес - Большая Морская ул., 61), которое находилось примерно на 1.3 км южнее обсерватории Санкт-Петербургской императорской Академии наук, географические координаты - 59°55′50″ северной широты и 30°17′59″ восточной долготы. Его домашняя обсерватория располагалась на открытой плоской крыше строения, которое имело длину 6м, ширину 5м, и высоту 4м; на крыше были установлены перила высотой ¾ м. Ломоносов использовал "зрительную трубу о двух стеклах длиною в 4½ фута". Оригинальный телескоп, использованный Ломоносовым, не сохранился, как и многие телескопы 18 века, уничтоженные пожаром в Пулковской обсерватории недалеко от Санкт-Петербурга при бомбардировках во Вторую Мировую Войну. Из самой работы 1761 года и сопровождающих ее иллюстраций можно заключить, что Ломоносов использовал астрономический телескоп-рефрактор (который дает перевернутое изображение) с двухлинзовым объективом-ахроматом. Были найдены некоторые указания на то, что это мог быть один из первых двухлинзовых ахроматов-рефракторов, изготовленных Джоном Доллондом, известным английским оптиком (1706-1761). Однако прямое доказательство того, что Ломоносов использовал ахромат Доллонда, было найдено лишь недавно в публикации, вышедшей перед Второй Мировой Войной (для более подробного обсуждения см. работу Шильцев, 2012).

Первое :
2 2/11x=1 3/4+5/16
2 2/11x=1 12/16+5/16
2 2/11x=1 17/16
24/11x=33/16
x=33/16*11/24
x=121/128

Второе :
4 2/9 х+3 5/14=6 11/21
4 2/9 х=6 11/21 - 3 5/14 
4 2/9 х=3 7/42
4 2/9 х=3 1/6
4 8/36 х=3 6/36
х=(4 8/36)/(3 6/36)
х=(114/36)/(152/36)
х=(114/36)*(36/152)
х=114/152
х=3/4

Третее :
11/18-14/27*х=5/12
14/27*х=11/18 - 5/12
14/27*х=(22-15)/36
14/27*х=7/36
Х=7/36 : 14/27
Х=7/36 * 27/14
Х=1/4 * 3/2
Х=3/8

Четвёртое :
 1/3x+1/4x+1/5x=1 19/75
х*( 1/3+1/4+1/5)=1 19/75
х*47/60=1 19/75
х=1 19/75 : 47/60
х=94/75*60/47
х=8/5
х= 1 3/5

Пятое :
4  1/2 : х + 1 3/4 = 3 19/28
4  1/2 : х = 3  19/28 - 1  3/4 
4  1/2 : х = 1  13/14
х= 4  1/2 : 1 13/14
х= 2 1/3

Шестое :
Х - 2 4/15 = 3 2/3 : 3 5/13
Х - 2 4/15 = 11/3 : 44/13
Х - 2 4/15 = (11×13)/(3×44)
Х - 2 4/15 = 13/12
Х - 2 4/15 = 1целая 1/12
Х = 1 2/12 + 2 4/15
Х = 1 5/60 + 2 16/60
Х = 3 21/60 
Х = 3 7/20
ответ. 3 целых 7/20.

Все!)