Первый и второй зачет по Русскому языку сдали 9 школьников, первый и третий зачет – 6 школьников, второй и третий - 7 школьников. Не менее двух зачетов выполнили 10 школьников. Сколько школьников успешно сдали все три зачета?

М -математика, Р - русский язык, А - английский язык

Всего возможны 8 вариантов расставления оценок:

М   Р   А

5,  5,  5

5,  5,  4

5,  4,  5

4,  5,  5

5,  4,  4

4,  5,  4

4,  4,  5

4,  4,  4

Так как вариантов 8, а школьников 9, то, по крайней мере, двое из них показали одинаковую успеваемость по данным предметам.

Пошаговое объяснение:

Как полагаю я, перед моими глазами не уравнение вида , а квадратное. Посоветовал бы для начала умножить все части уравнения на –1, получив при этом уравнение вида , уже легче поддающееся решению. 

, или равен , что в калькуляторе равно примерно 20,712... 
Дискриминант мы сосчитали – равен он квадратному корню из четыреста двадцати девяти, а вот корни уравнения мы ещё не сосчитали. Займёмся этим. 



Счесть корни фактически невозможно, печаль. Сумма корней уравнения (а иначе ) расписывается следующим образом (конкретно для данного уравнения): 
и равна она, вообщем-то, шести четырнадцатым – обозначим её переменной α. Теперь же начертим числовую прямую, обозначив на ней α. 

\\\\\\\\0/////α///
––––––|–––––––>
где , или равно . 
Тогда промежуток, принадлежащий этому значения, имеет следующий вид: 
x∈(–∞; α)∪(α; +∞), ну либо x∈(–∞; )∪(; +∞)

Замена переменной
sinx+cosx=t
Возводим в квадрат
sin²x+2sinxcosx+cos²x=t²
Так как sin²x+cos²x=1, 2sinxcosx=sin2x, то 1+sin2x=t²⇒sin2x=t²-1
Уравнение примет вид:
t=1-(t²-1)
t²+t-2=0
D=1+8=9
t=(-1-3)/2=-2  или  t=(-1+3)/2=1

sinx+cosx=-2 уравнение не имеет корней. Так как наименьшее значение синуса и косинуса равно -1, а это значение одновременно и синус и косинус принимать не могут.

sinx+cosx=1
Решаем методом введения вс угла.
Делим уравнение на √2:
(1/√2)sinx+(1/√2)cosx=1/√2.
sin(x+(π/4))=1/√2.
x+(π/4)=(π/4)+2πk, k ∈Z     или        x+(π/4)=(3π/4)+2πn, n∈Z;
x=2πk, k∈Z                         или        x=(π/2)+2πn, n∈Z.
ответ.2πk; (π/2)+2πn; k,n∈Z.