Бөлшектерді кыскартып жаз115 үстінде 300 астында 17 үстінде 51 астында.

1 дм² = 100 см²

12 000 см²  и  12 дм²

12 дм² = 12 * 100 = 1 200 см²     ⇒   12 000 см² > 12 дм²

1 км = 1 000 м

12 км  и  1 200 м:

12 км = 12 * 1 000 = 12 000 м    ⇒    12 км > 1 200 м

1 дм³ = 1 000 см³

12 000 см³  и  12 дм³:

12 дм³ = 12 * 1 000 = 12 000 см³    ⇒   12 000 см³ = 12 дм³

1 дм = 100 мм

12 000 мм  и  1 200 дм:

1 200 дм = 1 200 * 100 = 120 000 мм    ⇒    12 000 мм < 1 200 дм

1 т = 1 000 кг;   1 ц = 100 кг

1 т 2 ц  и  1 200 кг:

1 т 2 ц = 1 * 1 000 + 2 * 100 = 1 200 кг   ⇒    1 т 2 ц = 1 200 кг

Решение
обозначим через s(n) сумму цифр числа n.
алгоритм. первым ходом вася называет 1. если число x оканчивается на k нулей, то s(x – 1) = 2011 + 9k. таким образом вася узнаёт положение самой правой ненулевой цифры в x. положим x1 = x – 10k. вася знает, что s(x1) = 2011. подобрав на втором ходу число a так, что x – a = x1 – 1, вася узнаёт сколько нулей в конце x1. пусть их m. положим x2 = x1 – 10m. тогда s(x2) = 2010. подобрав на третьем ходу число a так, что
x – a = x2 – 1, вася узнаёт сколько нулей в конце x2, и т. д. после 2012 хода он получит s(x2012) = 0, тем самым найдя x.
оценка. пусть петя признался, что в записи x есть только нули и единицы, то есть x = 10k2012 + 10k2011 + + 10k1, где k2012 > k2011 > > k1. при этом васи сводится к выяснению значений показателей ki. пусть васе не везёт, и на i-м ходу оказывается, что 10ki больше предъявленного васей числа a. тогда, независимо от значений k2012, ki+1, s(x – a) = s(10ki – a) + (2012 – i). тем самым, о значениях k2012, ki+1 ничего не известно (кроме того, что все они больше ki). в частности, после 2011 ходов может остаться неизвестным точное значение k2012.

ответ
2012 ходов.