Постройте график функции y=x^2-2x+1. С графика найдите: А) значение y при x=-0, 5; Б) значение y=-2 В) нули функции; Г)промежутки в которых y>0 и y<0

Определим свойства данной параболы.

Перепишем уравнение в каноническом виде.

Пошаговое объяснение:

Выделяем полный квадрат в выражении −x2−2x−1-x2-2x-1.

Используем вид записи ax2+bx+cax2+bx+c для поиска значений aa, bb и cc.

a=−1,b=−2,c=−1a=-1,b=-2,c=-1

Рассмотрим уравнение параболы с вершиной в произвольной точке.

a(x+d)2+ea(x+d)2+e

Подставим значения aa и bb в формулу d=b2ad=b2a.

d=−22(−1)d=-22(-1)

Упростим правую часть.

Сократить общий множитель 22.

Сократить общий множитель

d=−22⋅−1d=-22⋅-1

Перепишем выражение.

d=−1−1d=-1-1

Выносим знак минус перед дробью из знаменателя 1−11-1.

d=−(−1⋅1)d=-(-1⋅1)

Перемножим.

Умножим −1-1 на 11.

d=1d=1

Умножим −1-1 на −1-1.

d=1d=1

Найдем значение ee с формулы e=c−b24ae=c-b24a.

Упростим каждый член.

Возведем −2-2 в степень 22.

e=−1−44⋅−1e=-1-44⋅-1

Умножим 44 на −1-1.

e=−1−4−4e=-1-4-4

Делим 44 на −4-4.

e=−1+1e=-1+1

Умножим −1-1 на −1-1.

e=−1+1e=-1+1

Складываем −1-1 и 11.

e=0e=0

Подставляем значения aa, dd, и ee в уравнение канонического вида a(x+d)2+ea(x+d)2+e.

−(x+1)2+0-(x+1)2+0

Приравняем yy к новой правой части.

y=−(x+1)2+0y=-(x+1)2+0

Используя уравнение в виде y=a(x−h)2+ky=a(x-h)2+k, определим значения aa, hh и kk.

a=−1a=-1

h=−1h=-1

k=0k=0

Так как значение aa отрицательно, парабола направлена вниз.

Ветви направлены вниз

Найдем вершину (h,k)(h,k).

(−1,0)(-1,0)

Найдем pp, расстояние от вершины до фокуса.

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы с следующей формулы.

14a14a

Подставим значение aa в формулу.

14⋅−114⋅-1

Сократим общий множитель для 11 и −1-1.

Записываем 11 как −1(−1)-1(-1).

−1(−1)4⋅−1-1(-1)4⋅-1

Выносим знак минус перед дробью.

−14-14

Найдем фокус.

Фокус параболы может быть найден с прибавления pp к координате Y kk вершины параболы, ветви которой направлены вверх или вниз.

(h,k+p)(h,k+p)

Подставим известные значения hh, pp и kk в формулу и упростим.

(−1,−14)(-1,-14)

Найдем ось симметрии, определив прямую, проходящую через вершину и фокус.

x=−1x=-1

Найдем направляющую.

Директрисой параболы является горизонтальная прямая, определяемая вычитанием pp из координаты Y kk вершины параболы, ветви которой направлены вверх или вниз.

y=k−py=k-p

Подставим известные значения pp и kk в формулу и упростим.

y=14y=14

Воспользуемся свойствами параболы для того, чтобы исследовать функцию параболы и построить её график.

Направление: направлено вниз

Вершина: (−1,0)(-1,0)

Фокус: (−1,−14)(-1,-14).

Ось симметрии: x=−1x=-1

Направляющая: y=14y=14

Выберем несколько значений xx и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения yy. Значения xx должны выбираться близко к вершине.

Заменим в выражении переменную xx на −2-2.

f(−2)=−(−2)2−2⋅−2−1f(-2)=-(-2)2-2⋅-2-1

Упростим результат.

−1-1

Значение yy при x=−2x=-2 равняется −1-1.

y=−1y=-1

Заменим в выражении переменную xx на −3-3.

f(−3)=−(−3)2−2⋅−3−1f(-3)=-(-3)2-2⋅-3-1

Упростим результат.

−4-4

Значение yy при x=−3x=-3 равняется −4-4.

y=−4y=-4

Заменим в выражении переменную xx на 00.

f(0)=−(0)2−2⋅0−1f(0)=-(0)2-2⋅0-1

Упростим результат.

−1-1

Значение yy при x=0x=0 равняется −1-1.

y=−1y=-1

Заменим в выражении переменную xx на 11.

f(1)=−(1)2−2⋅1−1f(1)=-(1)2-2⋅1-1

Упростим результат.

−4-4

Значение yy при x=1x=1 равняется −4-4.

y=−4y=-4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

xy−3−4−2−1−100−11−4xy-3-4-2-1-100-11-4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление: направлено вниз

Вершина: (−1,0)(-1,0)

Фокус: (−1,−14)(-1,-14).

Ось симметрии: x=−1x=-1

Направляющая: y=14y=14

xy−3−4−2−1−100−11−4