Назовём тройку чисел вида (n, 2n, 3n) хорошей. Какое наибольшее количество хороших троек может быть среди 120 различных натуральных чисел? Задача из Уральского турнира юных математиков за 6 класс. Как её решить - не знаю, я восьмиклассник.

Вариант E

Пошаговое объяснение:

Если (2a+b)/(c+a)=(3b-a)/(c+4a)=k, c+a≠0; c≠-a; a≠-c; c+4a≠0; c≠-4a; a≠-c/4

Система уравнений:

3a+2b+c=11; c=11-3a-2b

2a-2b+c=5; c=5-2a+2b

11-3a-2b=5-2a+2b

a=6-4b

(2(6-4b)+b)/(5-2(6-4b)+2b+(6-4b))=(3b-(6-4b))/(5-2(6-4b)+2b+4(6-4b))

(12-7b)/(-7+10b+6-4b)=(7b-6)/(-7+10b+24-16b)

(12-7b)/(6b-1)=(7b-6)/(17-6b), где 6b-1≠0; b≠1/6; 17-6b≠0; b≠17/6≠2 5/6

(12-7b)(17-6b)=(7b-6)(6b-1)

204-72b-119b+42b²=42b²-7b-36b+6

204-191b=6-43b

191b-43b=204-6

b=198/148=99/74

a=6 -4·99/74=6 -198/37=222/37 -198/37=24/37

c=5 -2·24/37 +2·99/74=5 -48/37 +99/37=185/37 +51/37=236/37

(2·24/37 +99/74)/(236/37 +24/37)=k

195/74 ·37/260=k

3/(2·4)=k

k=3/8