решите всё. желательно на бумаге

основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. постановка численного дифференцирования

2. численное дифференцирование на основе интерполяционных формул ньютона

3. оценка погрешности дифференцирования с многочлена ньютона

4. численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы лагранжа

5. оценка погрешности численного дифференцирования с многочлена лагранжа

функция y = f(x) задана таблицей:

на отрезке [a; b] в узлах  a = x0  < x1  < x2  < : < xn  =b< /x.  требуется найти приближенное значение производной этой функции в некоторой точке  х*    [a; b]. при этом  х*  может быть как узловой точкой, так и расположенной между узлами.

·  численное дифференцирование на основе интерполяционных формул ньютона

считая узлы таблицы равноотстоящими, построим интерполяционный полином ньютона. затем продифференцируем его, полагая, что f '(x)    φ'(x) на [a; b]:

  (1)  формула значительно , если производная ищется в одном из узлов таблицы: х* = xi = x0 + ih:     (2)  подобным путём можно получить и производные функции f (x) более высоких порядков. однако, каждый раз вычисляя значение производной функции f (x) в фиксированной точке х в качестве х0 следует брать ближайшее слева узловое значение аргумента.

·  численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы лагранжа

запишем формулу лагранжа для равноотстоящих узлов в более удобном виде для дифференцирования:     затем, дифференцируя по х как функцию от t, получим:     пользуясь этой формулой можно вычислять приближённые значения производной таблично-заданной функции f (x) в одном из равноотстоящих узлов.  аналогично могут быть найдены значения производных функции f(x) более высоких порядков.