Прямая делит прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой корень из 8 на две части. Найдите наибольшее произведение площадей этих частей.

1

Пошаговое объяснение:

1) Пусть х - длина катета, тогда, согласно теореме Пифагора:

х²+х²=(√8)²

2х² = 8

х²=4

х=2

2) Площадь данного треугольника равна половине произведения его катетов:

(2 · 2) : 2 = 2

3) Рассмотрим 2 случая: а) когда треугольник площадью 2 разбит на 2 равных треугольника, площадь каждого из которых равна 2 : 2 = 1, и б) когда исходный треугольник площадью 2 разбит на 2 неравных треугольника.

В первом случае произведение площадей будет равно:  

1 · 1 = 1² = 1

Во втором случае: если площадь 1 одной из частей уменьшить на х, а площадь другой 1 соответственно увеличить на х, то произведение получившихся площадей составит:

(1 - х) · (1+х) = 1² - х² (разность квадратов чисел).

Очевидно, что:

1² - х² < 1²,

следовательно, произведение равных площадей будет наибольшим.

ответ: 1.