На доске написано несколько чисел: 0, 13, 20, 45, 10, 65. Определи наименьшее число, при делении на которое все эти числа дают попарно различные остатки.

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Переберем все возможные числа, с которыми будем делить данные числа: 1, 2, 3, 4, ... и так далее. Но можем заметить, что наименьшее число, на которое можно поделить любое число, оно само число. Поэтому наше искомое число должно быть среди данных чисел: 0, 13, 20, 45, 10, 65.

2. Попробуем поделить каждое из данных чисел на само себя, чтобы убедиться, что получаются различные остатки.
- 0 : 0 = 0
- 13 : 13 = 1
- 20 : 20 = 1
- 45 : 45 = 1
- 10 : 10 = 1
- 65 : 65 = 1

Заметим, что все данные числа дают остаток 0 или 1 при делении на само себя, что означает, что нам нужно искать число, которое не обязательно делится наши данные числа и даёт остатки отличные от 0 и 1.

3. После того как мы исключили возможность поделить данные числа на само себя, давайте теперь попробуем поделить каждое число на все другие числа из нашего списка (за исключением самого себя).

- 0 : 13 = 0 (остаток 0)
0 : 20 = 0 (остаток 0)
0 : 45 = 0 (остаток 0)
0 : 10 = 0 (остаток 0)
0 : 65 = 0 (остаток 0)

- 13 : 0 = не определено, так как деление на ноль невозможно
13 : 20 = 0 (остаток 13)
13 : 45 = остаток 13
13 : 10 = остаток 3
13 : 65 = остаток 13

- 20 : 0 = не определено
20 : 13 = остаток 7
20 : 45 = остаток 20
20 : 10 = остаток 0
20 : 65 = остаток 20

- 45 : 0 = не определено
45 : 13 = остаток 6
45 : 20 = остаток 5
45 : 10 = остаток 5
45 : 65 = остаток 45

- 10 : 0 = не определено
10 : 13 = остаток 10
10 : 20 = остаток 10
10 : 45 = остаток 10
10 : 65 = остаток 10

- 65 : 0 = не определено
65 : 13 = остаток 12
65 : 20 = остаток 5
65 : 45 = остаток 20
65 : 10 = остаток 5

4. Исходя из результатов деления каждого числа на остальные числа, мы можем заметить, что числа 13 и 45 дают различные остатки при делении на все остальные числа.

Итак, наименьшее число, которое при делении на которое все данные числа дают попарно различные остатки, это число 13.