У страховой компании n=700 клиентов, каждый из которых застраховал свою машину от угона. Страховой взнос клиента составляет x=400 у.е., а страховая выплата клиенту в случае угона составляет y=75000 у.е. Если известно, что вероятность угона машины равна p=0.013, то какова вероятность, что страховая компания понесет убытки, т.е. ее прибыль окажется меньше нуля? (Использовать для расчета одну из приближенных формул и указать ответ с точностью до 3 знаков после запятой)

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение и приближенную формулу Пуассона.

Вероятность каждого события (угон автомобиля) равна p=0.013. Поскольку страховая компания имеет n=700 клиентов, мы можем предположить, что количество случаев угона следует биномиальному распределению.

Формула для биномиального распределения:
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k),

где P(X=k) - вероятность того, что произойдет k случаев угона,
C(n,k) - число сочетаний из n по k (n! / (k! * (n-k)!)),
p - вероятность угона,
n - количество клиентов.

Мы хотим найти вероятность, что страховая компания понесет убытки, поэтому нам нужно найти вероятность P(X < 0).

Поскольку P(X=0) и P(X=1) будут очень малыми значениями, мы можем использовать формулу Пуассона для приближенного расчета вероятности P(X < 0):

P(X < 0) ≈ P(X=0) + P(X=1),

где P(X=0) и P(X=1) рассчитываются с использованием формулы Пуассона:

P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!,

где λ = n * p - ожидаемое количество угонов.

Выполним расчеты:

λ = 700 * 0.013 ≈ 9.1.

Для P(X=0):
P(X=0) = (e^(-9.1) * 9.1^0) / 0! = (e^(-9.1)) / 1 ≈ 0.000093.

Для P(X=1):
P(X=1) = (e^(-9.1) * 9.1^1) / 1! = (e^(-9.1) * 9.1) ≈ 0.000847.

Теперь рассчитаем приближенную вероятность P(X < 0):

P(X < 0) ≈ P(X=0) + P(X=1) ≈ 0.000093 + 0.000847 ≈ 0.000940.

Таким образом, вероятность того, что страховая компания понесет убытки, составляет приблизительно 0.000940 или 0.094%. Ответ округляем до 3 знаков после запятой.