Найдите общий вид первообразных F(x) функции y = f(x) на указанном промежутке​

Чтобы найти общий вид первообразных F(x) функции y = f(x) на указанном промежутке, мы должны проинтегрировать данную функцию.

Давайте посмотрим на график данной функции. На графике видно, что функция имеет две части: первая часть в промежутке от x = 0 до x = 2, и вторая часть в промежутке от x = 2 до x = 5.

Для каждой части функции, мы можем найти первообразную отдельно.

1) В промежутке от x = 0 до x = 2:
Здесь функция f(x) представляет собой прямую линию, проходящую через точку (0, 1) и (2, 3). Мы можем использовать формулу для нахождения первообразной от прямой функции.
f(x) = (3 - 1)/(2 - 0) * x + b
f(x) = 1/2 * x + b

Теперь нашей задачей является нахождение конкретного значения b. Для этого мы можем использовать какую-либо точку на функции. Так как у нас есть точка (0, 1), мы можем подставить ее в функцию и решить уравнение:
1 = 1/2 * 0 + b
1 = b

Таким образом, первообразная функции на промежутке от x = 0 до x = 2:
F(x) = 1/2 * x + 1

2) В промежутке от x = 2 до x = 5:
Здесь функция f(x) представляет собой параболу с вершиной в точке (4, 0). Мы можем использовать формулу для нахождения первообразной от параболической функции.
f(x) = a * (x - h)^2 + k

Для нахождения a, h и k, нам нужно использовать данные о вершине и еще одну точку на функции (например, точку (2, 1)).
Подставим координаты вершины и точки в функцию:
0 = a * (4 - 4)^2 + 0
1 = a * (2 - 4)^2 + 0

Из первого уравнения следует, что a = 0. Из второго уравнения мы можем выразить a:
1 = a * (-2)^2
1 = 4a
a = 1/4

Таким образом, первообразная функции на промежутке от x = 2 до x = 5:
F(x) = (1/4)(x - 4)^2 + C, где C - произвольная постоянная.

Таким образом, общий вид первообразных F(x) функции y = f(x) на указанном промежутке:
F(x) =
1/2 * x + 1, если 0 <= x < 2,
(1/4)(x - 4)^2 + C, если 2 <= x <= 5.