Из круглого листа вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить воронку наибольшей вместимости

пусть  - длина дуги, ограничивающей искомый сектор, вырезаемый из круглого листа.

пусть - радиус круглого листа и одновременно образующая конуса (воронки). 

тогда радианная мера дуги , ограничивающей искомый сектор равна:

        )

  нам необходимо найти при каком объем воронки (правильного конуса)

будет наибольшим. запишем формулу объема конуса:

      )

где - радиус основания конуса; - высота конуса 

поскольку длина окружности основания конуса равна , то отсюда

              )

высоту конуса найдем с теоремы пифагора:

          )

подставим в (4) вместо выражение (3):

 

          )

 

подставим в (2) вместо и соотвественно выражения (3) и (5), получим:

      )

    где  

  очевидно, что естественной областью определения объема как функции от  есть интервал:

        )

  продифференцируем (6) по :

  , отсюда

    )

чтобы функция (6) имела на естественной области ее определения максимум или минимум, необходимо чтобы )

тогда из (8) и (9) получим:

        , отсюда с учетом, что , найдем критическую точку:

        , или

         

  поскольку естественной области определения (7)  принадлежит только одна критическая точка    и поскольку на естественной области определения функция (6) принимает только положительные значения, то критическая точка - точка максимума функции (6). другими словами, при объем воронки будет наибольшим.

теперь мы можем найти радианную меру искомого сектора, для чего подставим в (1) вместо  критическую точку :

   

 

 

   

         

 

-2/3

Пошаговое объяснение:

f(x) = 1/3x^3 - x^2 - 2/3

Находим производную:

f'(x) = x^2 - 2x

Критические точки:

x^2 - 2x = 0

x = 0; 2

В этих точках функция f(x) имеет своё наибольшее или наименьшее значение. Найдём эти значения.

Если x = 0:

y = 1/3 * 0 - 0 - 2/3

y = -2/3

Если x = 2:

y = 1/3 * 2^3 - 2^2 - 2/3

y = 8/3 - 4 - 2/3

y = 6/3 - 12/3

y = -2

Значит в точке x = 0 функция принимает наибольшее значение, а в точке x = 2 наименьшее. Следовательно, на отрезке [-1; 1] наибольшее значение функция примет в точке x = 0. Это значение мы уже нашли (y = -2/3).

1

ЗАДАЙ ВО Студенческий  Математика  5+3 б

Решите уравнение:

х: 3 = 192 x: 5 = 143

531 : х= 3 995 : х = 5

x: 8 = 111

567 : х = 9​

Nargiza01011987 9 часов назад

По больше объяснений  Следить Отметить нарушение

ОТВЕТИТЬ

ответы и объяснения

nargiza01011987 ждёт твоего решения.

ответь на во и заработай баллы.

cloud45

Cloud45Отличник

х:3=192

х=192•3

х=576

ответ:х=576

__________

х:5=143

х=143•5

х=715

ответ:х=715

__________

531:х=3

х=591:3

х=197

ответ:х=197

_________

995:х=5

х=995:5

х=199

ответ:х=199

__________

х:8=111

х=111•8

х=888

ответ:х=888

__________

567:х=9

х=567:9

х=63

ответ:х=63

_________

Пошаговое объяснение: