3. найти /в градусах/ решение уравнения 2cos x-1=0 , удовлетворяющее условию 270°

1)   y=(x^3/6)-x^2

y '(x) = (3x^2/6)-2x=(x^2/2)-2x

(x^2/2)-2x=0

x^2-4x=0

x(x-4)=0

находим критические точки

x=0 и x=4

находим вторую производную

y '' (x)=x-2

определяем знак второй производной в критической точке

f'' 0)< 0

f''(4)> 0

следовательно, x=0 - точка максимума

x=4 - точка минимума

находим точку перегиба

f''(x)=0

x-2=0

x=2 - критическая точка второго рода

точка с абсциссой x=2 есть точка перегиба

находим ординату перегиба

y(2)=8/6-4=-8/3

таким образом точка (2; -8/3) - точка перегиба

функция возрастает от   - бесконечности до 0 и от 4 до + бесконечности

функция убывает от 0 до 4

 

2) y=e^(-x^2)

y ' =-2x*e^(-x^2)

находим критические точки

-2x*e^(-x^2)=0

x=0

находим вторую производную

y ''(x)=-2*e^(-x^2)+4x^2*e^(-x^2)=e(-x^2)*(-2+4x^2)

определяем знак второй производной в критической точке

y''(0)=-2

следовательно, x=0 - точка максимума

находим точку перегиба

f''(x)=0

e(-x^2)*(-2+4x^2)=0

(-2+4x^2)=0

4x^2=2

x^2=1/2

x=±sqrt(1/2)- критические точки второго порядка

точки   с абсциссами x=sqrt(1/2) и -sqrt(1/2) - точки перегиба выпуклостью вниз

находим ординаты перегиба

y(-sqrt(1/2)=e^(1/2)

y(-sqrt(1/2)=e^(-1/2)

y(2)=8/6-4=-8/3

 

функция   y(x)> =

функция возрастает от - бесконечности до нуля и убывает от 0 до + бесконечности

 

3) y=(2x)/(1+x^2)

y ' (x)=2x/(1+x^2)-4x^2/(1+x^2)^2

находим критические точки

2x/(1+x^2)-4x^2/(1+x^2)^2

2x(1+x^2)-4x^2=0

x=0

x=0 - критическая точка

находим вторую производную

y''(x)=-12x/(1+x^2)^2+16*x^3/(1+x^2)^3

определяем знак второй производной в критической точке

y''(0)< 0

следовательно, x=0 - точка максимума

находим точку перегиба

f''(x)=0

-12x/(1+x^2)^2+16*x^3/(1+x^2)^3=0

-12x-12x^3+16x^3=0

x=0 - точка перегиба выпуклостью вверх

x=-sqrt(3)-точка перегиба выпуклостью вниз

x=sqrt(3)-  точка перегиба выпуклостью вниз

функция спадает от - бесконечности до -sqrt(3) и jn 0 до sqrt(3) и на остальных промежутках   возрастает

 

4) y=2^(1/x)

y'(x)=-2^(1/x)*ln(2)/x^2

точка x=0 - точка разрыва

функция убывает от - бесконечности до нуля и от 0 до + бесконечности

точки перегиба можно определить как в предыдущих

 

 

Пусть для третьего сплава взяли х частей от 1-го сплава и у частей от второго сплава. рассмотрим первый сплав: 1+2=3 части металла всего значит, 1/3х первый металл в сплаве и 2/3у второго металла в сплаве. рассмотрим второй сплав: 2+3=5 частей всего, а значит 2/5у частей первого металла и 3/5 частей второго металла. значит в новом сплаве содержится: первого металла 1/3х+2/5у второго металла 2/3х+3/5у по условию отношение металлов в третьем сплаве 17: 27, а значит (1/3х+2/5у)/(2/3х+3/5у)=17/27 1/3х*27+2/5у*27=2/3х*17+3/5у*17 34/3х-27/3х=54/5у-51/5у 7/3х=3/5у х: у=9: 35 это означает, что надо взять 9 частей первого сплава и 35 частей второго сплава.