Определите разряд подчинительного союза машина неслась с огромной скоростью пока не остановилась у маленькой старой пристани

В данном случае разряд подчинительного союза - меры и степени (до каких пор?)

Рассказ «Чудесный доктор» был написан Александром Куприным в 1897 году, в то время он жил в Киеве. Первое, на что следует обратить внимание при анализе произведения, - на заявление автора в самом начале, что рассказ "не есть плод досужего вымысла". Всё описанное действительно произошло некоторое время назад в Киеве, и это сразу заставляет читателя иначе воспринимать текст.

Перед декабрьскими праздниками в городе царит весёлая суета, это подчёркивается эпитетами "прекрасные", "праздничные", "весёлый". Беззаботная и сытая жизнь - и ей противопоставляется иная реальность, описанная словами "мрачные", "ветхий", "грязный". Двое мальчиков из обнищавшей семьи Мерцаловых возвращаются с нарядных улиц домой в подвал, где их ждёт мать, больная сестра и голодный младенец. А в городе готовятся к празднику и накрывают богатые столы. Это противопоставление двух разных миров, существующих в одно время и в одном месте, и есть главная проблема рассказа. А главное действующее лицо - чудесный доктор - объединяет их.

Отец попавшего в беду семейства, Мерцалов, слабый и невезучий человек. В праздничный вечер, не в силах своей семье, он готов бежать от бед, решаясь даже на самоубийство. И в критическую минуту случайно встречает врача, который больного ребёнка и всё семейство. Это сродни чуду, что подчёркивается в названии рассказа. Резкие слова отчаявшегося Мерцалова встречают живой человеческий отклик, и доктор сразу же предлагает свою вместо того чтобы обидеться или проигнорировать чужую беду. Это также похоже на чудо, ведь люди из обеспеченной, праздничной, "другой" жизни не откликались на Мерцалова о и даже не подавали милостыню. А чудесный доктор одним своим появлением вселяет бодрость в измученных людей, после назначает лечение больному ребёнку, даёт деньги на необходимую еду и незаметно оставляет на столе крупные кредитные билеты. И при всём этот не называет даже своего имени, не только не желая выслушивать благодарности, но даже не считая, что должен их выслушать: "Вот ещё пустяки выдумали!.."

И после появления этого необыкновенного человека нищая, неудачная жизнь семьи Мерцаловых входит в благополучное русло. Дети выздоравливают, отец находит место, мальчиков устраивают в гимназию. Все они попадают в ту, другую, "праздничную" реальность - посредством доброго деяния чудесного доктора. Только истинное, искреннее человеколюбие менять нашу жизнь. Но оно встречается так редко, что считается чудом

Несколько путей. Можно от существительного (местоимения, прилагательного/причастия в роли предмета-существительного) - обязательно в Им. падеже. Есть таковое - ищем сказуемое: глагол, или прилагательное, или существительное в И. п. Еще путь - глагол. Тогда смотрим, кто (что) совершает это действие-глагол. Не забыть, что может и не быть подлежащего или сказуемого (односоставное предложение) . Вопросы сказуемого: что делает? каков? что такое? (летает, решится полететь, задумчив, источник...) . Еще прием: грамм. основа - это нераспространенное предложение, то есть весь смысл в ней. Подлежащее может быть выражено цельным словосочетанием - несколько книг, три девицы, один из ребят, мы с братом, много вещей, девушки с веселыми глазами.
Кстати (к ответу А. В.) : грамматическая основа - это не словосочетание!! !
Ну и еще много нюансов. Практика важна!