Вкаком предложении нет ошибки (не пунктуационной)? 1)слух о таинственом драгоценном камне оказался не более чем слухом. 2)осенью, после ненастья, установились теплыэ дни. 3)я быстро восстановил в памяти все, что я сказал, все, на что я намикнул. 4)пока он так стоял, не двигаясь, мозг лихарадочно работал, подкидывая для размышления самые дикие варианты. 5)человек, видимо, ожидал кого-то, и оглядываясь через плечо, крепко прижимал к себе увесистую сумку.

5)Человек, видимо, ожидал кого-то и, оглядываясь через плечо, крепко прижимал к себе увесистую сумку.

Если не пунктуационная ошибка, то есть орфографическая в слове намЕкнул, от слова намЁк;
В слове таинствЕННый в суффиксе пишется удвоенная Н.
Значит, нет ошибок (орфография) в предложениях 4, 5.

Березовое блюдце
Кажется, все уже до кустика известно в наших березовых перелесках, а нет-нет да и встретишь такое, отчего вдруг остановишься в восхищении и сердце ворохнется от радости. Вот хотя бы березовое блюдце, которое я нашел вчера. Лежит то блюдце на кургане, на самой его вершине, между трех березок-сестер, выросших из одного корня. Их было больше, четыре, но четвертую спилили. Обливался соком тот срез по весне: березка все стремилась еще раз подняться, да не смогла, только оставила после себя это берестяное кольцо по краям круглого пенечка. И легла вокруг всего среза по самому краешку ровная красивая каемочка. Руками так не сделаешь. Получилось настоящее блюдце: дно темноватое, а края белые, атласные. Хоть возьми и пей из него или срежь да унеси на память, не днями гляди – не наглядишься. И к довершению моего удивления водица на донышке чистая-чистая: то ли березки снова поделились весенним соком, то ли это их слезы по своей младшей сестре.

Дорогая бабушка!
Получил твое письмо и сразу пишу ответ.
Как твое здоровье? Не болеешь ли ты? 
Мы все здоровы, только наш Барсик стал прихрамывать на переднюю лапку. Мы с папой возили его к ветеринару.
В школе у меня все хорошо. Недавно я участвовал в шахматном турнире и занял 5 место из 46 детей моего возраста.
Анечка ходит в садик.
Мама и папа работают. Папа приходит поздно, зато в выходные проводит с нами целый день!
Бабушка, а чем ты занимаешься? начал ли таять снег? Разлилась ли речка Джебка?
Не болей и пиши мне, бабушка.
Твой внук Петя.