Каким членом предложения является задумчиво в словосочетании задумчиво следя?

Задумчиво-является обстоятельством в предложении)

Родной деревней (Т.п., ж.р.), родной сестре (Д.п., ж.р.), родной сестры (Р.п., ж.р.), родной дом (И.п., м.р.), за родной край (В.п., м.р.) 

Далёкой дорогой (Т.п., ж.р.), далёкой родственнице (Д.п., ж.р.), от далёкой мечты (Р.п., ж.р.)

Стальной стружкой (Т.п., ж.р.), к стальной леди (Д.п., ж.р.), для стальной леди (Р.п., ж.р.), стальной стержень (И.п., м.р.), через стальной трап (В.п., м.р.)

Чужой стороной (Т.п., ж.р.), чужой женщине (Д.п., ж.р.), без чужой подсказки (Р.п., ж.р.), чужой человек (И.п., м.р.), за чужой проступок (В.п., м.р.)

Важной встречей (Т.п., ж.р.), к важной особе (Д.п., ж.р.), после важной встречи (Р.п., ж.р.)
- - - - - 

1. После шипящих под ударением пишется О, в соответствии с произношением
1)в окончаниях имен существительных, например: блиндажом, виражом (поворотом) , листажом, литражом, метражом, монтажом, муляжом, пажом, стеллажом, мячом, параличом, шалашом, клещом, плющом, межой, свечой, левшой, пращой
2)в окончаниях имен прилагательных, например: чужого, большого 
3)в суффиксах имен существительных: -ок (должок, крючок, пастушок, борщок) , -онок (медвежонок, волчонок, лягушонок) , -онк-а (книжонка, клячонка, душонка) ;
4)в суффиксах имен прилагательных: -ов (ежовый, чесучовый, грошовый, хвощовый, ножовый) , -он (с беглым О: смешон) ;
5)на конце (в суффиксах) наречий, например: свежо, ужо (в значении «потом» , «после») , горячо, вечор (в значении «вчера вечером») , общо, хорошо.

2. После шипящих под ударением пишется Е (Ё), хотя произносится О:
а) в окончаниях личных форм глаголов, например: лжёт, течёт;
б) в глагольном суффиксе –ёвыва-, например: размежёвывать, выкорчёвывать, затушёвывать;
в) в суффиксе отглагольных существительных –ёвк-, например: размежёвка, корчёвка (но: ножовка) ;
г) в суффиксе существительных –ёр, например: стажёр, тренажёр, ретушёр;
д) в суффиксе страдательных причастий –ённ- (-ён-), например: сражённый, орошённый, прекращённый, сражён, орошён, прекращён; в суффиксе отглагольных прилагательных –ён-, например: жжёный, копчёный; в словах, производных от слов данного типа, например: жжёнка, копчёности, тушёнка, упрощённость;
е) в предложном падеже местоимения что: о чём, на чём; в словах причём, нипочём.

Примечание. В соответствии с общим правилом в мужских отчествах в форме творительного падежа под ударением пишется О – Кузьмичом, Лукичом, в безударном положении – Е – Сергеевичем (Сергеичем) . 

Исключение – Ильичём (о Ленине) .

После шипящих под ударением в корне пишется е (ё), соответствующее в произношении звуку [о] , если в родственных словах или в другой форме того же слова пишется е (чёрный - чернеть, жёлтый - желтизна) ; при отсутствии таких соотношений пишется о. Ср. : 

бечёвка, вечёрка, дешёвый, жёваный, жёлоб, жёлудь, жёлчь, жёрнов, жёсткий, зачёт, кошёлка, печёнка, пощёчина, причёска, пчёлка, пшёнка, пшённик, расчёска, решётка, сажёнки, счёт, учёба, учёт, чёботы, чёлка, чёлн, чёрт, чёрный, чёрточка, чечётка, шёпот, щёголь, щёлка, щётка; 
артишок, джонка, жом, жор, жох, изжога, крыжовник, крюшон, мажор, обжора, прожорливый, трещотка (уже не выделяется суффикс -отк-а) , трущоба, чащоба (уже не выделяется суффикс -об-а) , чокаться, чопорный, чох, чохом, шов, шок, шомпол, шоркать, шорник, шорох (слово шероховатый не воспринимается сейчас как однокоренное) , шоры; 
В словах иноязычного происхождения возможно написание о после шипящих в безударном слоге, например: жокéй, жолнёр, жонглёр, мажордóм, шовинúзм, шокúровать, шоколáд, шоссé, шотлáндский, шофёр.