Пишутся ли в предложение союзы слитно? за(тем) я побежал по тропинке, что(бы) догнать друга.

Да, они все пишутся слитно затем и чтобы

Да, пишутся слитно.
Слово "затем" является союзом, поэтому пишется слитно; если бы это был предлог с указательным местоимением, допустим, "за тем деревом", то писалось бы раздельно.
Союз чтобы пишется слитно, потому что частицу "бы", в данном случае пишущуюся слитно, нельзя опустить или поменять её местоположение в предложении. 

ответ:Олег был сильный, могучий князь. Он не раз отражал набеги нападавших на Русь кочевников – хозаров и совершал победоносные походы на соседние страны. Летопись рассказывает о том, как Олег совершил поход на Византию, овладел столицей Византийской империи Константинополем (русские называли его Царь-град - современный Стамбул) и, уйдя оттуда, в знак победы прибил на воротах города свой щит.

За воинские удачи народ называл Олега “вещим”, т.е. чародеем, мудрецом.

Вскоре после этого похода (907г.) и заключения с греками торгового договора (911г.), выгодного для Руси, Олег умирает, и в Киеве стал княжить князь Игорь, а после него его жена, княгиня Ольга.

Легенда (народное сказание) о смерти киевского князя Олега сохранилась в летописи. Она и положена Пушкиным в основу “Песни о вещем Олеге”. Легенда была известна А.С. Пушкину с юности, она привлекала юного поэта своей поэтичностью. Но её пересказ Пушкин сделал только в 1833 году. Что же побудило Пушкина обратиться к седой древности?

Объяснение:

Инверсия (греч. inversion — перестановка) — нарушение традиционной последовательности слов в предложении, необычное построение фразы усилению вырази­тельности речи. Относится к синтаксическим фигурам усиле­ния. Существует два вида инверсии: анастрофа (перестановка смежных слов) и гипербатон (разъединение их во фразе) . Пример инверсии: «Он из Германии туманной привез ученос­ти плоды» (А.С. Пушкин); «Белеет парус одинокий В тумане моря голубом» (М.Ю. Лермонтов); «Арагвы светлой он счаст­ливо Достиг зеленых берегов» (М.Ю. Лермонтов).