Может ли предложения начинатся со сказуемое? например помню с детства как сказуемое помню?

Да, например:
Помню чудное мгновенье
Передо мной явилась ты...

А/Б
1.Весело завертела хвостом,необыкновенный хвост Дуни,веселый хвостик,глаза задорно блестят,своенравная,,любящяя поверховодить.
2.Сейчас, когда я пишу эти строки, Дуня стоит напротив меня. Нос её задран кверху, глаза задорно блестят, хвост работает как заведённый. Да и вся наша Дунечка очень напоминает Карлсона: такая же маленькая, плотненькая и такая же своенравная, любящая поверховодить. Но главное её сходство с Карлсоном - это, конечно же, волшебный хвост-пропеллер. / 2. Дунька нашлась морозным утром на трамвайной остановке. Некоторое время она сновала между пританцовывающих ног, а потом остановилась напротив меня и, задрав кверху нос, весело завертела хвостом. Замёрзшие лица расцвели улыбками и Дуня удвоила усилия - пока нечто вроде снегового вихря не образовалось у неё на хвосте. Но тут подошёл трамвай, и пассажиры, перестав интересоваться необыкновенным хвостом Дуни, полезли в тёплый вагон. Я тоже, стараясь не смотреть, как упадёт весёлый хвостик, взобрался на подножку. И только подъезжая к следующей остановке, не выдержал и обернулся... 
3. Ве'село - весе'лье, заверте'ла - ве'ртится, снегово'го - сне'г, не смотре'ть - смо'трит. / 
3. Стои'т - сто'й, глаза' - гла'з, рабо'тает - раб, напомина'ет - по'мню, сходство - сходен, волшебный - неправ. гл. 

4.Выразить добрые чуства к нашим братьям меншим,привлечь внимание на то что надо заботиться о своих домашних животных не выкидывать их на улицу и если есть возможность приютить бродячих жывотных, не быть равнодушными.

Существует два вида предложений: сложносочиненные(ссп, где части сложного - самостоятельны) и сложноподчиненные(спп, где части сложного разделяются на главную и придаточную/ые), и связь между ними может быть как союзная, так и бессоюзная.
Например: Светило солнце, И пели птицы. (ССП, между частями сложного союз и, союзная).
Светило солнце, пели птицы.(ССП, союз между частями сложного отсутствует, но они отделяются запятой - это бессоюзная связь).
В СПП:
Светило солнце, потому за окном пели птицы и радовались теплу.(потому - союзное слово, союзная связь). В СПП бессоюзной связи не бывает.
Он не знал, что на улице холодно.(союз "что", союзная связь).
В более сложных предложениях могут встречаться оба типа связи.
Например: Светило солнце, пели птицы, и ребята играли во дворе.