Почему слово независимость, пишется слитно? (все молодые люди стремятся к независимости)

Потому,что можно подобрать синоним без не (свободный,самостоятельный)

В КОРНЕ СЛОВА под ударением нужно написать Ё в том случае, если в других формах этого слова или в однокоренных словах пишется буква Е: ШЁПОТ (потому что ШЕПЧЕТ) , ПЧЁЛЫ (потому что ПЧЕЛА) , ЧЁРНЫЙ (потому что ЧЕРНЕТЬ) , ЖЁЛТЫЙ (потому что ЖЕЛТЕТЬ) , ШЁЛ (потому что ПРИШЕДШИЙ) и т. д. Так пишется большинство корней.
2. Если же проверочное слово подобрать не удается, то после шипящих, в корне, под ударением следует писать О: ШОВ, ШОРОХ, ШОРЫ, ИЗЖОГА, КРЫЖОВНИК, ОБЖОРА, ЧОКАТЬСЯ, ТРУЩОБА. Таких слов не очень много, и их обычно запоминают как исключения.
3. Если перед вами иноязычное по происхождению слово, то необходимо писать О после шипящего согласного в корне под ударением, например: КАПЮШОН, ШОК, ЖОНГЛИРОВАТЬ. 

Запомните: ещё, изжога, скачок, прыжок, толчок + ожог, поджог (сущ.), но ожёг, поджёг (глаг.):
Мальчик ожёг (глаг.) руку. У него сильный ожог (сущ.).
о, ё пишутся под ударением:в корнях слов букву о нужно запомнить: шов, шорох, капюшон; букву ё можно проверить: шёпот - шепчет;в суффиксах и окончаниях всех слов, образованных не от глаголов, пишется только о: крючок, холщовый, с малышом, большой;в глаголах и в словах, образованных от глаголов, пишется только ё: течёт, тушить - тушёный - тушёнка + слова на -ёр: дирижёр.