12ч-3ч15мин+5ч48мин=? с действиями.

12ч=12ч*60мин=720 мин

3ч15мин=3ч*60мин+15мин=180мин+15мин=195 мин

5ч48мин=5ч*60мин+48мин=300мин+48мин=348мин

 

720мин-195мин+348мин=873мин

873мин: 60мин=14ч55мин.

переводим всё в минуты

 

720-195+348=873

 

переводим ответ в часы

 

873/60=14ч 33мин

Линейные уравнения ах = b, где а ≠ 0; x=b/a.

Пример 1. Решите уравнение – х + 5,18 = 11,58.

       – х + 5,18 = 11,58;

       – х = – 5,18 + 11,58;

       – х = 6,4;

       х = – 6,4.

    ответ: – 6,4.

 

Пример 2. Решите уравнение 3 – 5(х + 1) = 6 – 4х.

       3 – 5(х + 1) = 6 – 4х;

       3 – 5х – 5 = 6 – 4х;

       – 5х + 4х = 5 – 3+6;

       – х = 8;

       х = – 8.

    ответ: – 8.

Пример 3. Решите уравнение .

       . Домножим обе части равенства на 6. Получим уравнение, равносильное исходному.

       2х + 3(х – 1) = 12; 2х + 3х – 3 =12; 5х = 12 + 3; 5х = 15; х = 3.

    ответ: 3.

 

Пример 4. Решите систему  

       Из уравнения 3х – у = 2 найдём у = 3х – 2 и подставим в уравнение 2х + 3у = 5.

       Получим: 2х + 9х – 6 = 5; 11х = 11; х = 1.

       Следовательно, у = 3∙1 – 2; у = 1.

    ответ: (1; 1).

Замечание. Если неизвестные системы х и у, то ответ можно записать в виде координаты точки.

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0, где а ≠ 0.

        D = b2 – 4ac;

        ;

        нет решения при D < 0.

При решении квадратных уравнений полезно помнить формулу чётного коэффициента, т.е. случай, когда b = 2k или k =b/2:

        

.

    х2 + px + q = 0 – приведённое квадратное уравнение. Для него справедлива теорема Виета:

   



    где х1 и х2 – корни уравнения.

Пример 5. Решите уравнение 3у + у2 = у.

        3у + у2 = у – неполное квадратное уравнение; у2 + 3у – у = 0;

        у2 + 2у =0; у∙(у + 2) = 0.

Помните! Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, но второй при этом имеет смысл.

        y1 = 0, или  у + 2 = 0;

        у2 = – 2.

    ответ: – 2; 0.

Пример 6. Решите уравнение 18 – х2 = 14.

        18 – х2 = 14 – неполное квадратное уравнение; – х2 = 14 – 18;

        – х2 = – 4; х2 =4; х = ± 2.

    ответ: ± 2.

Пример 7. Решите уравнение х2 + 6х – 3 = 2х3.

        х2 + 6х – 3 = 2х3 – уравнение 3-ей степени. Оно решается разложением на множители: х2 – 2х3 + 6х – 3 = 0;

        – х2(2х – 1 ) + 3(2х – 1) = 0;

        (2х – 1)(3 – х2) = 0;

        2х – 1 = 0 или 3 – х2 =0;

        х1 = 0,5; х2,3 =.

    ответ: 0,5; .

Пример 8. Решите уравнение (х2 – 5х)2 – 30 (х2 – 5х) – 216 = 0.

        (х2 – 5х)2 – 30 (х2 – 5х) – 216 = 0 – биквадратное уравнение. Такое уравнение решается методом подстановки.

    

Замечание. Метод подстановки позволяет перейти к уравнению, равносильному данному.

        Пусть х2 – 5х = t. Тогда уравнение примет вид t2 – 30t – 216 = 0;

        

        

        x2 – 5х = – 6 или х2 – 5х = 36;

        х2 – 5х + 6 = 0 или х2 – 5х – 36 =0.

        По теореме Виета:

        х1 = 2, х2 = 3, х3 = – 4, х4 =9.

    ответ: – 4, 2, 3, 9.

Пример 9. Вычислить наибольший корень уравнения  х4 – 7х3 + 14х2 – 7х + 1 = 0.

        х4 – 7х3 + 14х2 – 7х + 1 = 0 │: х2 (х ≠ 0)

        

        

        t2 – 2 – 7t + 14 = 0;    

        t2 – 7t + 12 = 0

        х2 – 3х + 1 = 0              или      х2 – 4х + 1 = 0;

        D = 9 – 4 = 5,                      D = 16 – 4 = 12

        x1 и х3 – меньшие корни. Остаётся сравнить х2 и х4

Пример 10. Найти все целые решения системы уравнений

  Решаем уравнение 2(х + у)2 + (х + у) = 21.

Пусть х + у = t. Тогда получим 2t2 + t – 21 = 0; t1 =-7/2  ; t2 = 3.

x + у = -7/2  не удовлетворяет условию задачи, так как хотя бы одно из слагаемых в данной сумме будет нецелым числом.

x + у = 3 – удовлетворяет условию.

Решением системы будут (1; 2) или (2; 1).

ответ: (1; 2), (2; 1).

Правило нахождения числа по его проценту

Существует обратное правило нахождения числа по его проценту. Для того чтобы получить результат по такой математической операции (второму из трёх базовых типов задач на процентные вычисления) необходимо указанное в условиях число разделить на заданную процентную величину, после чего полученный результат умножить на 100. При этом первым действием вычисляется количество единиц исходной величины в 1%, а вторым – в целом (то есть в 100%). Если количество % превышает 100, то полученный результат всегда будет меньше числового значения, заданного условиями задачи – и наоборот.

Правило нахождения процентного выражения числа от другого

Третьим базовым типом математических задач на процентные вычисления являются такие задания, в которых необходимо использовать правило нахождения процентного выражения числа от другого (или соотношения двух величин). Оно гласит о том, что для решения необходимо второе число разделить на первое, после чего полученный результат умножить на сто. Подобное соотношение показывает, сколько % одно числовое значение составляет от другого (то есть, фактически речь идёт об отношении между двумя числовыми значениями, выраженном в %).