Из точки а вне плоскости а проведены к ней две наклонные ав=13см и ас=6см. проекцияодной из них равна 12см. найдите проекцию другой наклонной.

из точки а перпендикулярно на плоскость проводим линию. пересечение проведённой линии и линии плоскости будет точка d. получаем 2 прямоугольных треугольника с общей стороной ad.  первый треугольник с катетами bd и  ad.  сторона bd  равна 12 см., согласно .  второй треугольник acd, где  ac  его гипотенуза.  по нам нужно найти  длинну стороны dc.  сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

решение: ab^2=ad^2+bd^2

ac^2=ad^2+dc^2

dc^2=ac^2-ad^2=ac^2-ab^2+bd^2

dc^2=36-169+144=11

  dc= квадратный корень из 11( если условие записано правильно)

 

для составления уравнения плоскости   acd используем формулу:

x - xa y - ya z - za

xc - xa yc - ya zc - za

xd - xa yd - ya zd - za

  = 0

подставим данные и выражение:

x - (-4) y - (-5) z - (-3)

5 - (-4) 7 - (-5) (-6) - (-3)

6 - (-4) (-1) - (-5) 5 - (-3)

  = 0

x - (-4) y - (-5) z - (-3)

9 12 -3

10 4 8

  = 0

x - (-4)   12·)·4   -   y - (-5)   9·)·10   +   z - (-3)   9·4-12·10   = 0

108 x - (-4)   + (-102) y - (-5)   + (-84) z - (-3)   = 0

108x - 102y - 84z - 330 = 0

18x - 17y - 14z - 55 = 0.

для вычисления расстояния от точки b(bx; by; bz) до плоскости ax + by + cz + d = 0   используем формулу:

d =   |a·bx + b·by + c·bz + d| (√a² +b² + c²).

d =   |18·3 + (-17)·1 + (-14)·2 + (-55)| √182 + (-17)2 + (-14)2   =   |54 - 17 - 28 - 55| /√(324 + 289 + 196)   =   =   46/ √809   =   46√809/ 809   ≈ 1.617274.

доказательство.рассмотрим треугольники bdc и bda.

bd - биссектриса угла abc, а значит угол abd = углу сbd

                                              уголadb= углу cdb (по условию)

                                              bd - общая сторона

по 2-му признаку равенства треугольников треугольник abd=треугольникуcbd.

что и требовалось доказать.