Решите, .. докажите, что для любого натурального n верно равенство: а n! +(n+1)! =n! (n+2) б). (n+! =n! n в). (n-1)! +n! +(n+1)! =(n+1)^2(n-1)! г). (n+! +(n-1)! =(n^2+1)(n-1)! восклицтельный знак - это факториал. ^2 - означает в квадрате.

все (n+1)! равны n! *(n+1), а (n-1)! =n! /n. а далее просто:

а) n! +(n+1)! =n! +n! *(n+1)=n! (1+n+1)=n! (n+2)

б) (n+! =n! *(n+1)-n! =n! (n+1-1)=n! n

в) (n-1)! +n! +(n+1)! =n! /n+n! +n! *(n+1)=(n! +n! n+n! *(n+1))/n=n! (1+n+n+1)/n=n! (2n+2)/n= =2n! (n+1)/n=(n+1)*2n! /n=(n+1)*2(n-1)! - мне кажется в третьем примере опечатка, значит, в четвертом, вероятно, тоже.

четвертый решается по принципу третьего. 

х-собственная скорость катера; 4 часа 30 минут=4,5 часа 

скорость по водохран. х , т.к. вода стоячая, скорость по реке х-3, т.к. река впадает в водохранилище, катер выплыл из водохранилища в реку, т.е. против течения 

27/х +45/х-3=4,5 к общему знамен., перенес. все в лев. часть.

(27(х=3)+45х-4,5х(х-3))/х(х-3) = 0, чтобы в данном выражении получился 0, числитель должен быть равен 0, а знамен. не = 0, следует х не может быть равен нулю и трем.

27х-81+45х-4,5х*х+13,5х=0 

  -4,5х*х+85,5х-81=0, для удобства вычисления разделим обе части выражения на -4,5   (прим. х*х это х в квадрате)

х*х-19х+18=0

д=(-19)*(-19)-4*1*18=361-72=289

х1=(19+17)/2=18 км/ч -собственная скорость катера

х2=(19-17)/2=1 км/ч - не удовл. условию так как если скорость катера будет меньше скорости течения реки, то катер не сможет вплыть в реку против ее течения. 

  ответ собственная скорость катера 18 км/ч

 

 

b1+bn=66     b2*bn-1=128

b1+b1*q^n-1=66           b1*q*b1*q^n-2=128

  b1+b1*q^n-1=66         b1^2*q^n-1=128

q^n-1=x

b1*(1+ x)                     b1^2*x=128

 

  решаешь систему этих двух уравнений.

получаешь ур-ние:   31x^2-1025x+32=0

по дискриминанту получаешь:

х1=1/32           х2 = 32

т.к. прогр возраст, то х2 - удовлетвор усл

из второй формулы получаешь: b1=корень из 128/х

b1 = 2

sn=b1*(q (в степени n)   - 1) /q-1

получается:

126=2*(32q-1)/(q-1) 

q=2

  q в степени n-1= x

n=6