(в скобках указаны степени) докажите, что при любом натуральном х значение выражения х(3)+3х(2)+2х делится на 6. заранее .

x^3+3x^2+2x=x(x^2+3x+2)

d=3^2-4*1*2=1

x1=-2, x2=-1

x^2+3x+2=(x+1)(x+2)

получаем x(x^2+3x+2)=x(x+1)(x+2)-произведение трёх последовательных натуральных чисел. пользуясь свойством трёх последовательных чисел получаем, что это произведение делится на 3, кроме того, среди трёх последовательных чисел всегда найдётся хотя бы одно чётное (т.е. делящееся на 2). следовательно х(х+1)(х+2) одновременно делится и на 2 и на 3, т.е. на 6,что и требовалось !

Можно выделить полные квадраты: (9a^2+6ab+b^2)+(b^2+18b+81)+ (a^2-6a+9)+1926=(3a+b)^2 +(b+9)^2 +(a-3)^2+1926 заметим ,что если возможно,что все 3 квадрата могут быть равны 0. то минимум ,когда все квадраты равны нулю. тк в этом случае все квадраты будут принимать свое минимальное значение. ведь квадрат неотрицателен. проверим: b+9=0 ,b=-9 ,a-3=0 , a=3. подставим в 1 квадрат: 3a+b=3*3-9=0 . тут нам несказанно повезло,ведь на практике подобный случай довольно редок! таким образом наименьшее значение будет при a=3, b=-9. это наименьшее значение равно 1926 соответственно. в более общем случае эта решается через экстремум 2 переменных,что не является школьной программой.

1) набрать в 9литровую 9 л, перелить в 8литровую 8л, в девятилитровой останется 1 л 2) вылить всю воду из 8литровой и перелить в нее 1 литр 3) набрать полную 9литровую и перелить воду в 8 литровую   сколько войдет. так как в 8литровой был уже 1 литр то в нее войдет еще 7 литров тогда в 9 литровой останется 9-7=2 литра 4) вылить всю воду из 8литровой и перелить в нее 2 литра из девятилитровой 5) наполнить 9 литровую и перелить из нее в 8литровую сколько войдет, поскольку в 8литровой уже было 2 литра то в нее войдет 6 литров а в 9литровой останется 9-6=3