Докажите, что среди семи целых чисел найдутся хотя бы два числа, разность которых делится на 6.

Рассмотрим остатки при делении этих чисел на 6: а=6k a=6k+1 a=6k+2 a=6k+3 a=6k+4 a=6k+5 поскольку общее количество чисел равно 7, то по принципу дерихле найдутся хотя бы 2 числа, остатки которых , и если мы возьмём эти два числа, то их разность будет кратна 6. что и требовалось доказать.

Хне делится на 3, значит дает в остатке либо 1 либо 2 х=3k+1    или    х =3k+2 y не делится на 3, значит дает в остатке либо 1 либо 2 y= 3n +1    или    y =3n+2 тогда а= (3k+1)⁴+(3n+1)⁴+1=(3k)⁴+4(3k)³+6(3k)³+4(3k)+1+(3n)⁴+4(3n)³+6(3n)³+4(3n)+1+1 каждое слагаемое, которое  содержит 3k  или 3n  кратно 3, 1+1+1=3  тоже делится на 3 или а= (3k+2)⁴+(3n+2)⁴+1=(3k)⁴+4(3k)³·2+6(3k)³·2²+4(3k)·2³+16+(3n)⁴+4(3n)³·2+6(3n)³·2²+4(3n)·2³+16+1 каждое слагаемое, которое содержит 3k  или 3n    кратно 3, 16+16+1=33  тоже делится на 3 или а= (3k+1)⁴+(3n+2)⁴+1=(3k)⁴+4(3k)³+6(3k)³+4(3k)+1+(3n)⁴+4(3n)³·2+6(3n)³·2²+4(3n)·2³+16+1 каждое слагаемое, которое  содержит 3k  или 3n кратно 3, 1+16+1=18 тоже делится на 3 или а= (3k+2)⁴+(3n+1)⁴+1=(3k)⁴+4(3k)³·2+6(3k)³·2²+4(3k)·2³+16+(3n)⁴+4(3n)³+6(3n)³+4(3n)+1+1 каждое слагаемое , которое содержит 3k  или 3n    кратно 3, 16+1+1=3 и тоже делится на 3

Условие не полное, максимум, который можно "выжать" : поскольку бассейн в итоге пуст, то это значит, что выливается больше, чем вливается, т.е. производительность выливающей трубы больше производительности заливающей трубы. с одной стороны  1/3: 8=1/24- совместная производительность двух труб. с другой стороны  совместная производительность двух труб это  производительность выливающей трубы  минус  производительность  заливающей трубы. х-время наполняющей  трубы на   наполнение  бассейна, 1/х-ее производительностьу-время  сливающей    трубы на  слив  бассейна, 1/у- ее  производительность 1/у-1/х=1/24 домножим на 24ху 24х-24у=ху 24х-ху=24у х(24-у)=24у х=24у/(24-у)  ограничение 24-у> 0 и у> 0 у< 24 у∈ (0; 24) это общее решение. конкретных решений бесконечное множество например: 2   и   2   2/11 8 и 12 9 и 14,4 15 и 40  скорее всего- вы не верно условие переписали.