Если а меньше бто для любых а и б верно неравенство:

Ну наверное так:   б больше а

D(f) - область определения функции, т.е. все значения, которые можно подставить в функцию и получить что-то осмысленное. Если есть "просто" функция, про смысл которой ничего не известно, то обычно надо просто учесть некоторые правила:

- если есть дроби, знаменатели не должны обращаться в ноль

- если есть корни чётных степеней, подкоренные выражения должны быть неотрицательны

- основание логарифма должно быть положительным и не равным нулю, логарифмируемое выражение должно быть положительно

- аргументы arcsin, arccos изменяются от -1 до 1

- tg не определен в точках вида pi/2 + pi*n, ctg не определен в точках вида pi*n, n - произвольное целое число

и другие.

Если про функцию известно, какой смысл несут аргументы и значение функции, ограничения могут добавиться. Например, если функция вычисляет размер ежемесячного платежа по кредиту в зависимости от продолжительности кредита (в днях), то аргумент (дни) должен быть положителен, а чаще всего представляться натуральным числом.

E(f) - область значений функции, то есть все значения, которые получаются при подстановке всевозможных аргументов в функцию. Её определить, как правило, сложнее. Тут тоже можно запомнить некоторые правила, однако к ним есть куча оговорок:

- Многочлены нечётных степеней, определенные на R (множестве действительных чисел), имеют область значений R

- Корни чётных степеней, определенные на [0, ∞) принимают значения из [0, ∞)

- Корни нечетных степеней R → R (Это еще один записать D(f), E(f). Перед стрелкой пишется D(f), после - E(f))

- sin, cos: отрезок длины 2π → [-1, 1]

- log: (0, ∞) → R

В общем случае нахождение E(f) - непростая задача. В её решении может график функции. Все "игреки" будут в множестве E(f)

Пример 1

Условие: найдите область значений y = arcsin x.

Решение

В общем случае область определения арксинуса располагается на отрезке [-1; 1]. Нам надо определить наибольшее и наименьшее значение указанной функции на нем.

y' = (arcsin x)'=

1

√

1-x2

Мы знаем, что производная функции будет положительной для всех значений x, расположенных в интервале [-1; 1], то есть на протяжении всей области определения функция арксинуса будет возрастать. Значит, самое маленькое значение она примет при x, равном -1, а самое большое – при x, равном 1.

minx∈[-1; 1]arcsin x=arcsin(-1)=-

π

2

maxx∈[-1; 1]arcsin x=arcsin 1=

π

2

Таким образом, область значений функции арксинус будет равна E(arcsin x)=[-

π

2

;

π

2

].

ответ: E(arcsin x)=[-

π

2

;

π

2