1. разность двух сторон прямоугольника равна 7см, а его периметр равен 54см. найдите стороны прямоугольника.

Обозначим  стороны  прямоугольника  за а и b составим  систему  уравнений: a-b=7 2a+2b=54 решим  систему  подстанновкой  a=7+b 2(7+b)+2b=54 b=10 a=17 ответ: 17,10

по условию a^2 + 2cd + b^2 = k^2 и c^2 + 2ab + d^2 = m^2, где k и m - натуральные. тогда 2cd = k^2 - a^2 - b^2 и 2ab = m^2 - c^2 - d^2. составим квадраты  сумм a + b и c + d: (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = a^2 + b^2 + m^2 - c^2 - d^2 и (c + d)^2 = c^2 + d^2 + 2cd = c^2 + d^2 + k^2 - a^2 - b^2. теперь составим их сумму: (a + b)^2 + (c + d)^2 = a^2 + b^2 + m^2 - c^2 - d^2 + c^2 + d^2 + k^2 - a^2 - b^2 = m^2 + k^2 => (a - b)^2  = k^2, (c - d)^2 = m^2. тогда a^2 + 2cd + b^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 => 2ab = 2cd => ab = cd. полученное условие должно соблюдаться и нам подойдут, к примеру, числа ab = cd = 6 => 1*6 = 2*3 => a=1, b=6, c=2, d=3. действительно, a^2 + 2cd + b^2 = 1^2 + 2*2*3 + 6^2 = 1 + 12 + 36 = 49 = 7^2 и c^2 + 2ab + d^2 = 2^2 + 2*1*6 + 3^2 = 4 + 12 + 9 = 25 = 5^2.

ответ: a =1, b = 6; c = 2, d = 3.

Обозначим скорость катера -- х км\ч, скорость течения км\ч. по течению реки  скорость катера будет ( х+у) , против течения -у) , а в стоячей воде-х. составим систему согласно условия: {4(x+y)+3x=148         {5(x-y)-2x=50 {7x+4y=148                {3x-5y=50 решим систему способом сложения. первое  уравнение системы умножим на 5, а второе -- на 4 . 35x+20y=740    +   {12x-20y=200 47x=940 x=20  скорость катера подставим значение х в любое уравнение системы и найдём у: ( например , в первое) 7·20+4у=148 140+4у=148 4у=148-140 4у=8 у=2  скорость течения реки ответ: 20 км\ч ; 2 км\ч