\frac{x^{2}-6x\sqrt{y}+9y}{3\sqrt{y}-x}

Решите систему уравнений   {x² -  y²  =3 ;     x²  +  xy  +  y²  =  7.x  ≠0 ,иначе получается    -y²  =3   что не имеет действительных решений (тоже  y    ≠0  ,иначе  получается    {x²   =3 ;     x²    =  7.  не имеет   решений {  x² -y²  =3 ;     3(x²  +  xy  +  y² ) -7(x² -y²)  =0 ⇔  {  x² -y²  =3 ;   10y² +3xy -4x²  =0 ⇔ 10y² +3xy -4x² =0     ⇔|| кв уравнения    отн  y  ||    [  ( y  =  - (4/5)x    ;   y=(1/2)x  . a) y = -(4/5)x   x² -y²  =3  ⇔  x² -(16/25)x² =3  ⇔ 9x² =75  ⇔ x = ±  (5√3) /3  б) y =(1/2)x  ⇔x² -(1/4)x² =3  ⇔3x² =4*3  ⇔    x = ±2 . ответ  : (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; √3) /3 ; -(4√3) /3 ) ;     ((5√3) /3 ; (4√3) /3 ).

Поделим множество всех действительных чисел на два подмножества. первое состоит из  чисел вида  где n и m - целые. второе состоит из  всех остальных. ясно, что оба подмножества непусты, так как  первое счетно, а множество действительных чисел несчетно, а если из несчетного множества убрать счетное подмножество, то останется множество той же мощности. пусть функция во всех точках  первого множества принимает  какое-то одно значение, скажем 1, а во всех точках второго множества - другое значение, скажем 0. добавление к числам первого множества любого количества единиц и любого количества корней из 2 не выводит из него. то же справедливо для чисел второго множества, так как если в результате добавления к x числа вида получится число вида  , то x равен разности этих чисел, то есть само есть комбинация 1 и корня из 2 с целыми коэффициентами. поэтому построенная функция удовлетворяет требуемому условию.