Сколько существует делящихся на 9 одиннадцатизначных натуральных чисел, в записи которых участвуют только цифры 0 и 7?

Существует признак деления на 9: если сумма всех цифр этого числа делится на 9, то всё число делится на 9. поскольку в этом числе участвуют только цифры 7 и 0, то единственно возможный вариант - когда цифра 7 встречается 9 раз в числе, соответственно, 0 встречается 2 раза, ведь 7+7+7+7+7+7+7+7+7+0+0=7*9, а значит сумма цифр кратна 9. обязательно 1-й цифрой должна быть 7, иначе будет не 11-значное число.  возможные варианты: 70077777777 70707777777 70770777777 70777077777 70777707777 70777770777 70777777077 70777777707 70777777770 77007777777 77070777777 77077077777 77077707777 77077770777 77077777077 77077777707 77077777770 замечаем, что появляется некая закономерность: в числах, начинающихся на 70 вариантов 9, в числах, начинающихся на 770 - 8, дальше 7, 6, 5, таким образом, всего вариантов: 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 ответ: 45

1)

a-1≠0  ⇒ a≠1  иначе это линейное уравнение, а оно не может иметь два корня

D=(a+2)²-4(a-1)(a-5)=a²+4a+4-4a²+24a-20=-3a²+28a-16

D>0⇒-3a²+28a-16>0⇒3a²-28a+16<0⇒  (14-2√37)/3  < x < (14+2√37)/3

D_(1)=(-28)²-4·3·16=784-192=592=(4√37)²

a₁=(28-4√37)/6=(14-2√37)/3;   a₂=(14+2√37)/3

По теореме Виета

x₁+x₂=-(a+2)/(a-1)

x₁·x₂=(a-5)/(a-1)

Так как по требованию задачи корни положительные, то

x₁+x₂>0   ⇒  -(a+2)/(a-1)>0  ⇒(a+2)/(a-1)<0

x₁·x₂>0     ⇒    (a-5)/(a-1)>0

⇒a∈(-2;1)

Учитывая    a≠1      и    (14-2√37)/3  < а < (14+2√37)/3  получаем ответ:

(14-2√37)/3<a<1

Подсчитаем, сколько в этом государстве участков рассматриваемой дороги. Десять из них лежат на кольце и еще семь веток связывают столицу с городами. Итого 17 участков. Рассмотрим дороги только первой компании. Так как по ее дорогам можно из каждого города проехать в любой другой, то первой компании должны принадлежать по крайней мере 9 участков, чтобы связать воедино все 10 городов. Для другой компании ситуация аналогичная. Тогда для двух компаний в сумме необходимо иметь по меньшей мере 2 · 9 = 18 участков, а их всего 17. Противоречие.  

ответ: 2