Основной способ разложения на множители

Разложить  многочлен на множители можно вынесением общего множителя за скобку, например: 4х³  - 2х² + 18 х  = 2х (2х² -х + 9) либо можно использовать формулы сокращенного умножения: например, формула разности квадратов двух чисел: 4х²  -  25  = (2х - 5)(2х + 5) или формула квадрат суммы или квадрат разности: 9х²  -  6х + 4  = (3х - 2)²  = (3х - 2)(3х - 2)

Для построения функции нужно проанализировать ее уравнение.

Очевидно, что функция содержит квадрат аргумента, следовательно, такая функция является квадратной. Графиком же квадратной функции будет парабола.

Узнаем, как будут направлены ветви параболы. Для этого обратим внимание на знак перед х в квадрате. Условно перед ним стоит знак «плюс», а это значит, что ветви параболы будут смотреть вверх.

Также парабола существует для любых значений аргумента х.

Найдем координаты точки, которая является вершиной параболы. Для этого используем известные формулы:

\[x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2\cdot 1}=0\]

\[y_0=0^2=0\]

Получили вершину данной параболы в начале координат.

В принципе, выше приведенных вычислений можно было и не выполнять, так как мы имеем уравнение параболы, для которой известно, что она симметрична координатной оси Оу и ее вершина совпадает с точкой (0; 0).

Также необходимо вычислить некоторые точки, которые построить данную параболу.

Подберем любые значения аргумента х и найдем соответствующие им значения функции. Возьмем значения х, чтобы удобнее было считать:

х = 1: y\left(1\right)=1^2=1 — точка (1; 1).

х = 2: y\left(2\right)=2^2=4 —точка (2; 4).

х = —1: y\left(-1\right)={\left(-1\right)}^2=1 —точка с координатами (—1; 1).

х = —2: y\left(-2\right)={\left(-2\right)}^2=4 —точка с координатами (—2; 4).

Покажем все пять точек на координатной плоскости и соединим их.

 4cos^2x - 11sinx - 11 = 0

    4(1-sin²x) - 11sinx - 11 = 0

    4 - 4sin²x - 11sinx - 11 = 0

    - 4sin²x - 11sinx - 7 = 0

    Замена sinx на у, получаем квадратное уравнение:

     -4у² - 11у - 7 = 0

     Квадратное уравнение, решаем относительно y: 

Ищем дискриминант:D=(-11)^2-4*(-4)*(-7)=121-4*(-4)*(-7)=121-(-4*4)*(-7)=121-(-16)*(-7)=121-(-16*(-7))=121-(-(-16*7))=121-(-(-112))=121-112=9;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

y_1=(√9-(-11))/(2*(-4))=(3-(-11))/(2*(-4))=(3+11)/(2*(-4))=14/(2*(-4))=14/(-2*4)=14/(-8)=-14/8=-1.75;

y_2=(-√9-(-11))/(2*(-4))=(-3-(-11))/(2*(-4))=(-3+11)/(2*(-4))=8/(2*(-4))=8/(-2*4)=8/(-8)=-8/8=-1.

Первый корень отбрасываем (больше 1)

 sinx = -1   х = Arc sin(-1) = kπ + ((-1)^k)*(3π/2).

2)3sin^2x + 8sin x cos x + 4cos^2x = 0  

Делим обе части уравнения на cos^2x:

3tg²x + 8tgx + 4 = 0     Замена tgx = у. Получаем квадратное уравнение: 3у² + 8у + 4 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно y: 

Ищем дискриминант:D=8^2-4*3*4=64-4*3*4=64-12*4=64-48=16;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

y_1=(√16-8)/(2*3)=(4-8)/(2*3)=-4/(2*3)=-4/6=-(2//3)≈-0.666666666666667;

y_2=(-√16-8)/(2*3)=(-4-8)/(2*3)=-12/(2*3)=-12/6=-2.

Обратная замена: tgx₁ = -2/3    х₁ = πn - arc tg(2/3) =  πn -  0.5880026.

                                  tgx₂ = -2      х₂ = πn - arc tg(2) =   πn -  1.107149.

Остальные примеры решаются аналогично.