Докажите, что в десятичной записи числа 2 ^697 какая-то цифра встретится не менее 22 раз.

Для начало нужно узнать сколько цифр будет в данном числе , можно использовать метод оценки чисел , то есть ясно что к примеру  в ней с единице 6 цифр , используем его  а в числе  цифр то есть в нашем чисел более  цифр .  но так как наше число образованна произведением чисел    в ней вероятность попадания четных чисел большая .     предположим что есть какая то цифра  и ее периодичность в среднем   встречается в 4 раза то мы знаем что цифр в числе больше 206 , я проверил точно их 216 , это не важно , тогда 216/4=54 цифр . снизим  нашу вероятность 216/10=21,6 то есть уже 21. но учитывая то что числа в четной степени важно заметить что числа к примеру 1,5,0,7   будут реже всех встречаться это видно из соображения разложение в степени двоек ,    так как если в числе число 0 превосходило всех то в них было произведение множителей вида  . далее оценим вероятность попадания 8 ,  то она может встречаться с вероятностью больше чем   4 других числа.  то есть из этого можно сделать вывод что уже 4 числа будет встречаться реже всех. а остальные 6 с большой вероятностью . а ранее мы оценили периодичность , объединяя ее получаем что в среднем  хотя бы через каждые каких то определенных чисел будут встречаться цифра с периодичностью  < x

План действий такой: 1) ищем производную. 2) приравниваем её к нулю, ищем критические точки 3) проверяем, какие из этих точек в указанный промежуток. 4) находим значения данной функции на концах   промежутка и в точках, попавших в этот промежуток. 5) из ответов выбираем наибольшее значение и наименьшее. начали? 1) производная = х + 5 - (х + 1)/ (х + 5)²   ;   (х≠-5) 2) (х + 1 - х - 5)/( х + 5)² = 0; -4/((х + 5) ²  = 0 ; эта дробь  ≠ 0, т.к. черта дроби - это деление. при делении получается нуль, если частное = 0, а   у  нас частное = -  4 вывод: данная функция критических точек не имеет ( она имеет точку разрыва в точке х = -5) 3)  - 4) х = -4 у = -4 + 1/-4 +5= -3     х = -3 у = -3 + 1/ -3 +5= -1 max y = -1 min y = -3

Пусть первое число х, второе число у произведение ху если первый множитель увеличить на 1, то он равен (х + 1),  а второй уменьшить на 1, то он равен (у - 1),тогда  произведение  (х + 1) ( у - 1) = ху + 2013 или ху + у - х - 1 = ху + 2013      ⇒  у - х = 2013+1  ⇒  у-х=2014 если первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1, то(х - 1)(у + 1) = ху - у + х - 1= ху - (у-х)-1=ху-2014-1=ху-2015- таким образом произведение уменьшится на 2015