Касательная, проведенная к графику функции у = 2х в3степени - 6х в2степени + 7х - 9 касательная, проведенная к графику функции у = 2х в3степени - 6х в2степени + 7х - 9 в некоторой точке, образует с положительным направлением оси ох угол 45°. а) найдите координаты точки касания; б) составьте уравнение касательной.

Пусть  касательная проведена  в  точке (a; y0) y  =  y(a) + y'(a)*(x  - a)  - уравнение  касательной т.к.  угол  между положительным  направлением оси ох и касательной составляет α=45 градусов,  значит: k  = tgα  = tg(45) = 1 - коэффициент  при х в уравнении касательной. y(a)  =  2a^3 - 6a^2 + 7a - 9 y'(a)  =  6a^2 - 12a + 7 y  =  2a^3 - 6a^2 - 7a -  9 + x*(6a^2 - 12a + 7) -  a*(6a^2 - 12a + 7) =  x*(6a^2 - 12a + 7)  + 2a^3 - 6a^2 - 7a - 9  -  6a^3  +  12a^2  -  7a  = x*(6a^2 - 12a + 7)  -  4a^3  +  6a^2  -  14a  -  9 6a^2 - 12a + 7  =  1 6a^2  -  12a  +  6  =  0 a^2  -  2a  +  1  =  0 (a  -  1)^2  =  0,  a=1 y(1)  =  2  -  6  +  7  -  9  =  -6 координаты  точки  касания:   (1;   -6) уравнение  касательной: y  =  x - 4 + 6 - 14 - 9 = x - 21

Критические точки находятся с производной, приравненной нулю. у=4х^2  -  6хy' = 8x - 6 = 0 x = 6/8 =3/4 = 0.75. так как заданная функция - парабола ветвями вверх (потому, что коэффициент при х² положителен), то критическая точка - это минимум функции. это единственная точка экстремума. значение функции в этой точке   у = 4*(9/16) - 6*3/4 = 9/4 - 9/2 = -9/4 =  -2.25. промежутки монотонности для данной функции: -∞< x< 0.75   - функция убывает, 0,75< x< ∞     - функция возрастает.

Преобразуем левую часть: далее: таким образом, получаем уравнение: теперь понятно, что можно ввести замену и продолжать решение уже дробно-рационального уравнения. советую запомнить приём, который я здесь употребил. он состоит вот в чём. мы помним формулу сокращённого умножения: отсюда я могу легко выразить сумму квадратов: думаю, вы уже догадались, что в нашем уравнении сыграло роль x, а что y. этот приём встречается часто в самых неожиданных ситуациях, так что рекомендую запомнить его. уравнение можно было решить и по формулам понижения степени(правда, это значительно было бы сложнее). но в целом, можно рассмотреть и такой вариант, но я показал проще. делаем замену: после замены получаем: умножаем обе части уравнения на 8t(с дробями работать крайне неудобно, да и t в знаменателе нам ни к чему - просто запомним, что он должен быть отличным от 0, а потом проверим это): решаем квадратное уравнение(кстати, t уже отличен от 0. в этом можно убедиться прямой подстановкой) - этот корень не удовлетворяет нашему уравнению. следовательно, возвращаясь к переменной x, получаем простейшее уравнение: отсюда это и есть ответ. напомню, что при решении простейшего уравнения я использовал формулу понижения степени, а в конечном результате n - целое число.