Решить : гипотенуза прямоугольного треугольника равна м. определить катеты, если известно, что после того, как один из них увеличить на %, а другой на %, то сумма их длин сделается равной 14м.

Пусть изначально был прямоугольный треугольник с катетами  ,  и гипотенузой  .тогда для этого треугольника справедлива теорема пифагора:   .далее,после того как катеты увеличили, получили, что их сумма - 14:   преобразуем это выражение:   .вместе с предыдущим равенством,получаем систему: (второй корень не подходит, так как тогда b< 0).непосредственной проверкой можно убедиться,что данная пара чисел подходит. ответ: (3; 6). 

A₁ ; a₂; a₃; a₄ - прогрессия, т.е. a₂ = q * a₁ a₃ = q² * a₁ a₄ = q³ * a₁ a₁+10; a₂+11; a₃+9; a₄+1 -арифметическая прогрессия, т.е. a₂+11 = a₁+10+d a₃+9 = a₁+10+2d a₄+1 = a₁+10+3d a₂ =  a₁+d-1 = q  *  a₁ a₃ = a₁+2d+1 = q²  *  a₁ a₄ = a₁+3d+9 = q³  *  a₁ d = (q-1) *  a₁ + 1 2d+1 = (q²-1)  *  a₁ 3d+9 = (q³-1)  *  a₁ d = (q-1)  *  a₁ + 1 2(q-1)  *  a₁ + 3 = (q²-1)  *  a₁ 3(q-1)  *  a₁ + 12  = (q³-1)  *  a₁ d = (q-1)  *  a₁ + 1 (q-1)  *  a₁ * (1  -  q) + 3 = 0     (q-1)  *  a₁ = 3 / (q-1) (q-1)  *  a₁  * (2-q²-q) + 12  = 0 3(2-q²-q)  / (q-1) = -12  6 - 3q² - 3q - 12 + 12q = 0 q² - 3q + 2 = 0 q  ≠ 1;   q = 2 a₁ = 3 / (q-1)² = 3 d = a₁ + 1 = 3+1 = 4 a₁ = 3                   a₂ = 2a₁ = 6         прогрессия a₃ = 4 * 3 = 12     с q = 2 a₄ = 8 * 3 = 24 3+10 = 13     арифметическая  6+11 = 17     прогрессия 12+9 = 21     с d = 4 24+1 = 25

У=x²+4x y(y-17)+60=0 y²-17y+60=0 d=289-240=49  y₁ = 17-7 = 5           2 y₂ = 17+7 = 12             2 при у=5 x²+4x=5 x²+4x-5=0 d=16+20=36 x₁= -4-6 = -5           2 x₂ = -4+6 =1             2 при у=12 x²+4x=12 x²+4x-12=0 d=16+48=64 x₁ = -4-8 = -6             2 x₂ = -4+8 =2           2 ответ: -6; -5; 1; 2.