Доказать или опровергнуть решение a^2+b^2 > или = a * b

a^2+b^2 > = a * b < =>

a^2-ab+b^2> =0 < =>

a^2-ab+0.25b^2 + 0.75b^2> =0 < =>

(a-0.5b)^2+ 0.75b^2> =0, что верно

так как

квадрат любого выражения неотрицателен (поэтому  (a-0.5b)^2 и   b^2 неотрицательны, произведение положительного и неотрицательного - неотрицательное значит 0.75b^2> =0, сумма двух неотрицательных неотрицательное)

доказано

Нам дан прямоугольный треугольник. Вспомним, как можно найти его площадь:

S = 1/2 a*b, где a  и b -- катеты треугольника.

Также вспомним теорему Пифагора: C² = A² + B², где С -- гипотенуза, а А и В -- катеты.

Пусть А -- меньший катет, который равен х. Тогда гипотенуза будет равна (х + 9). Чтобы найти второй катет, выразим его из теоремы Пифагора:

В² = С² - А²

Теперь подставим значения:

В² = (x + 9)² - x²

Мы видим формулу разности квадратов, раскроем её:

В² = (x + 9 - x)(x + 9 + x) = 9(2x + 9)

Тогда В = 3√(2х + 9).

Подставим полученные выражения в формулу площади:

S = 1/2 * a * b = 1/2 * x * 3√(2x + 9);     S = 60 =>

60 = 1/2x * 3√(2x +9)

120 = 3x√(2x + 9)

x√(2x +9) = 40

Возведём всё в квадрат, чтобы избавиться от корня:

x² * (2x + 9) = 1600

Перемножим:

2x³ + 9x² - 1600 = 0

Чтобы разложить на множители представим 9х как (25х - 16х):

2x³ - 16x² + 25x² - 1600 = 0

Сгруппируем попарно и вынесем общий множитель из каждой пары:

(2x³ - 16x²) + (25x² - 1600) = 0

2x² (x - 8) + 25 (x² - 64) = 0

Разложим разность квадратов во второй скобке:

2x² (x - 8) + 25 (x - 8)(x + 8) = 0

Вынесем общий множитель (х - 8) за скобку:

(x - 8) (2x² + 25 (x + 8) = 0

Раскроем третью скобку:

(x - 8) (2x² + 25x + 200) = 0

x - 8 = 0 или 2x² + 25x + 200 = 0

Рассмотрим оба случая:

1. x - 8 = 0

x = 8

2. 2x² + 25x + 200 = 0

D = b² - 4ac = 625 - 4*400 = 625 - 1600.

Дискриминант отрицательный, значит в данном уравнении корней нет.

Итак меньший катет равен 8, тогда гипотенуза равна:

8 + 9 = 17

А второй катет, или катет В:

3√(2х + 9) = 3√(2*8 + 9) = 3√ (16 + 9) = 3√25 = 3*5 = 15.

ответ: Меньший катет равен 8, гипотенуза равна 17, больший катет равен 15.

выразим y обоих случаях:

 

y = 1/2*x² - 1/2

 

у=x+1

 

найдем точки соприкосновения графиков:

 

х+1 =  1/2*x² - 1/2

2х+2 = х² -1

х²-1-2х-2=0

х²-2х-3=0

d = 4+12=16 - 2 корня

х1 = (2+4)/2 = 3

х2= (2-4)/2 = -1

 

таким образом, графики фунции пересеаются в двух точках х=-1 и х=3, причем график функции  у=x+1 будет расположен выше графика функции  y = 1/2*x² - 1/2 на этом отрезке.

 

теперь можем найти площадь фигуры:

 

s =  ∫₋₁³ (x+1-(1/2*x² - 1/2))dx =  ∫₋₁³ (x+1-1/2*x² + 1/2 )dx =  ∫₋₁³ (x-1/2*x² +3/2)dx = (1/2*x²   - 1/6*x³+ 3/2*x) |₋₁³ = (9/2 - 27/6 +9/2) - (1/2 + 1/6 - 3/2) = 9/2 +5/6 = 27/6 + 5/6 = 32/6 = 16/3 = 5ц1/3