0.001 в степени 1/3 - 2^-2 *64^2\3-8^1 1\3

способ 1

 

произведение положительного числа на положительное является положительным, т.е 

3*b> 0 при b> 0

сумма двух положительных будет положительна, т.е a+3*b> 0, если а> 0 и b> 0

значит и произведение 2а*(а+3b) положительное.

 

способ 2 

  раскрываем скобки получаем  

т.к а> 0 и b> 0, то a*b> 0,

для любых а.

сумма двух положительных чисел, будет положительным числом, получаем что

при условии что a*b> 0 (это возможно при a> 0 и b> 0, или a< 0 и b< 0)

 

строго говоря этим мы доказали, не только что 2а(а+3b)> 0 не только при а и b> 0, но и при  а и b< 0. т.е. чтобы выполнялось неравенство необходимо и достаточно чтобы a и b были одного знака.

сначала раскроем скобки (чтобы не мучаться со взятием производной от произведений)

получаем

(x+9)^2*(x+6)-5=(x^2+18x+81)(x+6)-5=x^3+24x^2+189x+481

теперь возьмем производную от этой функции, получим:

f'(x)=3x^2+48x+189

теперь найдем значение производной на границе нашего отрезка. получаем:

f'(-10)=3*100-480+189=9

f'(-8)=3*64+48*(-8)+189=-3

производная сменила знак, значит на это интервале она будет принимать значение 0 и в этой точке будет максимум функции, потому что если производная положительна, функция будет расти, если отрицательна, убывать. значит функция будет расти от точки x до точки x1, где f'(x1)=0, а после нее будет убывать до точки где x=-8.

найдем решения уравнения f'(x)=0, т.е

3x^2+48x+189=0

обычно квадратное уравнение, найдем d

d=48^2-4*3*189= 2304-2268=36

найдем решения уравнения:  

 

значит x1=-9, x2=-7, но т.к x2 не входит в отрезок [-10; -8], то нам подходит только одно решения x1=-9

ответ: максимальное значение функции достигается в точке x=-9 и равно оно -5.

 

примечание: вообще можно заметить, что (x+9)^2 всегда положительное, а (x+6) будет всегда отрицательном на рассматриваемом промежутке. значит чтобы функция достигла максимального значения необходимо просто сделать так, чтобы (x+9)^2*(x+6) было равно нулю. и здесь получаются 2 варианта:

1. х=-6 не подходит так как не пренадлежит отрезку [-10; -8]

2. x=-9, подходит.

но этот метод будет не универсальным, а пригодным только для этого примера.