Укажите наибольшее или наименьшее значение выражения: а)5+sin a б)3-cos a

1) 5 + sin a; -1≤ sin a  ≤ 1;     +5 -1 + 5  ≤ sin a + 5  ≤1 + 5; 4  ≤ sin a + 5  ≤ 6. e(y) = [4; 6]; 2) 3 - cos a ;     - 1≤ cos a  ≤ 1;   *(-1)   -1  ≤ - cos a  ≤ 1;     +3; - 1+3  ≤ - cos a + 3  ≤ 1+3; 2  ≤ 3 - cos a   ≤ 4. e(y) = [2; 4]

Решение.

Впишем четырехугольник ABCD в прямоугольник EFGH со сторонами,

параллельными диагоналям (EF || AC и EH || BD) - смотри рисунок.

Пусть L - точка пересечения прямых DC и EF, а M - точка на прямой HG такая, что LM || FG.

Тогда ABLC - параллелограмм, следовательно, AB = CL.

Так как GM = FL = EB = HD и AH = CG, то треуг-к AHD = треуг-ку CGM ,

следовательно, AD = CM. BC + CM = BC + AD .

Но BM = DL как диагонали прямоугольника BLDM, и DL = DC + CL = DC + AB.

Следовательно, AD + BC = DL = DC + CL = DC + AB, что и требовалось доказать.

Дана функция у = (х-1)²/x².

1.Область определения функции. D ∈ R : x ≈ 0.

2. Нули функции. Точки пересечения графика функции с осью ОХ.

График функции пересекает ось X при f = 0.

Значит, надо решить уравнение (х-1)²/x² = 0.

Решаем это уравнение (достаточно приравнять нулю числитель):

(х-1)² = 0, х-1 = 0, х = 1.

Точки пересечения с осью X: (1; 0).

График пересекает ось Y, когда x равняется 0.

Подставляем x = 0 в (x - 1)²/x².

Результат: (0 - 1)²/0² невыполним, значит, график не пересекает ось Оу.

3. Промежутки знакопостоянства функции.

Так как переменная в числителе и знаменателе в квадрате, то функция на всей числовой оси только положительна.

4. Симметрия графика (чётность или нечётность функции).

f(-x) = ((-x) - 1)²/((-x)²) = (x + 1)²/x² ≠ f(x) ≠ -f(-x).

Поэтому функция не чётная и не нечётная.

5. Периодичность графика. Не периодична.

6.Точки разрыва, поведение функции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты - смотри приложение.

7. Интервалы монотонности функции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.

Первая производная: y' = (1/x²)*(2x - 2) - (2/x³)*(x - 1)²

или y' = (2x - 2)/x³.

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

(достаточно числитель): 2x-2 = 0

Откуда: x1 = 2/2 = 1.

(-∞ ;0) (0; 1) (1; +∞)

f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0

функция возрастает функция убывает функция возрастает.

В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 1 - точка минимума.

8. Интервалы выпуклости, точки перегиба.

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0.

(вторая производная равняется нулю),

корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =

Вторая производная

\frac{1}{x^{2}} \left(2 - \frac{1}{x} \left(8 x - 8\right) + \frac{6}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0

Решаем это уравнение

Корни этого ур-ния

x_{1} = \frac{3}{2}

Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:

Точки, где есть неопределённость:

x_{1} = 0.

\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(2 - \frac{1}{x} \left(8 x - 8\right) + \frac{6}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right)\right) = \infty.

\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(2 - \frac{1}{x} \left(8 x - 8\right) + \frac{6}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right)\right) = \infty.

- пределы равны, значит, пропускаем соответствующую точку.

Интервалы выпуклости и вогнутости:

Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:

Вогнутая на промежутках

(-oo, 3/2]

Выпуклая на промежутках

[3/2, oo)

9. Поведение функции в бесконечности. Наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты - смотри приложение.

10. Дополнительные точки, позволяющие более точно построить график - даны в приложении.

11. Построение графика функции по проведенному исследованию дан в приложении.