Бассейн наполняется двумя трубами действующими одновременно, за 4ч.за сколько часов может наполнить бассейн первая труба, действуя в отдельности, если оно наполняет бассейн на 6ч дольше чем вторая.

Вместо b будем подставлять различные остатки при делении числа b на 6: *примечание: когда мы определяли, что число делится на 6, мы видели, что оно делится на 2 (заканчивается на четную цифру) и на 3 (сумма цифр делится на 3), значит число делится на 6. 1) остаток 0: кратно 6. 2) остаток 1: кратно 6. 3) остаток 2: кратно 6. 4) остаток 3: кратно 6. 5) остаток 4: 6) остаток 5: кратно 6. мы рассмотрели все остатки при делении числа b на 6, во всех случаях выражение делилось на 6, значит оно делится на 6 при любых b

доказать,   что (b³ +35b) кратно 6 при любом целом b.

докажем методом индукции.

1) пусть b=1, тогда  

1³ + 35·1 = 36

36 : 6 = 6   =>  

36 делится нацело на 6, значит, при b=1утверждение верно.  

2) допустим, что при b=k   утверждение верно, т.е.

значение выражения (k³ +35k)   делится нацело на 6.

3) проверим справедливость утверждения при b=k+1.

    (k+1)³+35·(k+1) =

= (k³ + 3k² + 3k + 1) + 35k + 35 =

= (k³+35k) + (3k² + 3k) + 36 =

= (k³+35k) + 3k(k+1)   + 36

- первое слагаемое (k³+35k)   делится на 6 без остатка по допущению из второго пункта.

- второе слагаемое 3k(k+1)   делится на 6 без остатка, т.к.

среди его множителей есть множители числа 6, это 3 и 2.

одно из двух последовательных чисел k и (k+1) будет четным.

(если k нечетно, следующее за ним (k+1) четно.

и наоборот, если k четно, следующее за ним (k+1) нечетно.)

- третье слагаемое 36   делится на 6 без остатка.

если каждое слагаемое делится на 6 без остатка, то и вся сумма   (k+1)³+35·(k+1) делится на 6 без остатка.

таким образом доказано утверждение о том, что (b³ +35b) кратно 6 при любом целом b.