Докажите, что при n более трех, крайней мере одна цифра числа n в квадрате, парная

4^2=16 (6 - четная)

5^2=25 (2 -четная)

6^2=36 (6-четная)

7^2=49 (4 -четная)

8^2=64 (6 - четная)

9^2=81 (8 - четная)

при n> =10 число n=10k+m, где, k - некоторое натуральное число, а m -одна из цифр

n^2=(10k+m)^2=100k^2+20km+m^2

последние две цифры числа определяются последними двумя цифрами суммы 20km+m^2. расммотрим все возможные варианты

если m - четная, так как произведение четных чисел четное, то последняя цифра числа n - будет четной.

если m=1, то 20k*1+1^2=20k+1=10*(2k)+1 и цифра десятков при любом k будет четной

если m=3, то 20k*1+3^2=20k+9=10*(2k)+9 и цифра десятков при любом k будет четной

если m=5, то 20k*1+5^2=20k+25=20k+20+5=10*(2(k+1))+5 и цифра десятков при любом k будет четной

если m=7, то 20k*1+7^2=20k+49=20k+40+9=10*(2(k+2))+9 и цифра десятков при любом k будет четной

если m=5, то 20k*1+9^2=20k+81=20k+80+1=10*(2(k+4))+1 и цифра десятков при любом k будет четной

все варианты рассмотрены из них следует что либо число единиц, либо число десятков будет четной цифрой. доказано.

интересная, смотри, как такие решаются.

 

в таких главное- последняя цифра числа, которое возводится в степень

 

в первом случае 2001 оканчивается на 1, а 1 в любой степени 1, поэтому и 2001 в любой степени оканчивается на 1.

 

во втором случае число оканчивается на 9. исследуем, на какую цифру будут оканчиваться степени 9

степень       последняя цифра 9^n

      1                               9

      2                               1

      3                               9

      4                               1

и т.д.   уже видно, что при возведении в чётную степень последняя цифра 1, в нечётную -   2

. таким образом

1999^2002 оканчивается на 1 (2002 - чётное число)

1999^1333 оканчивается на 2 (1333 - нечётное число).

 

вот, примерно, так.

попробуй исследовать поведение последней цифры числа 2013^n, 1917^n. получится интересней.

 

ну и последнее. всё это просто рассуждения, а как же это всё доказать, можешь ты спросить. так же просто. смотри, например, случай 1.

любое число, оканчивающееся на 1 можно представить в виде 10*к +1. значит его степень

(10*к+1)^n = 10^n*k^n + +1^n(это бином ньютона) = 10*r +1.

то есть любое число, оканчивающееся на 1 в любой степени оканчивается на 1.

так же через бином ньютона доказывается и всё остальное.

успехов!

 

да, и ещё. условие у тебя нечёткое, если в самом деле нет запятых, то в 1 - решение то же, а в 2 нужно поисследовать ещё на какую цифру оканчивются степени 2002, то есть 2

степень   посл. цифра 2^n

    1                   2

      2                   4

    3                     8

      4                   6

      5                   2

      6                   4

      7                     8

ну и тд. то есть это всегда чётное число, поэтому

(1999)^(2002^1333) оканчивается на 1, так как показатель чётный.

вот теперь совсем всё.

пиши четче ! видишь, как много может значить какая-то запятая!

 

смотри

там табоицу составить надо

тепл    l        48            l          x+4            l  48/(x+4)

катер l      48              l        x                        l  48/x

  из условия t2-t1=1

теплоход проходит на 1 ч быстрее вот

получается уравнение

48/x - 48/(x+4) = 1

48/x - 48/(x+4) - 1 =0

приводим к общему знаминателю,получается

48(x+4) - 48x -x(x+4) = 0    , при этом x не равен 0 и х не равен -4

48x+192-48x-x^2-4x=0

подобные приводим,получается что 48х сокращаются,получается

-x^2-4x+192=0

умножаем на -1,получается

x^2+4x-192=0

дискриминант = 16+768=784

корень из дискриминаннта =28

x1=(-4-28)/2 = -16 неуд.,скорость не может быть отрицательной

х2=(-4+28)/2= 12

ответ: 12