Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 32 минуты, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. расстояние между составляет 312 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи. (распишите подробно решение, )

32мин=32/60часа=0,53ч 1) 30*0,53=15,9(км) проехал 2-й за время отдыха 1-го в. 2) 312-15,9=296,1(км)   ехали одновременно навстречу друг другу. 3) 10+30=40(км/ч) - скорость сближения  4) 296,1/40=7,4 часа ехали   одновременно до места встречи. 5) 7,4+0,53=7,93 часа был в пути 2-й   до места встречи. 6) 30*7,93=237,9(км) проехал 2-й.  до места встречи.

вершина:   х(верш)= -в/2а=0 (по условию х(верш)=х(n)=0   )   ⇒   b=0

y(верш)=1=а*0²+в*0+с   ⇒   с=1

точка м(-2 ; 5) принадлежит параболе   ⇒   а(-2)²+b(-2)+с=5

                                                                                4а--2b+с=4а-0+1=5   ⇒   4а=4, a=1

  y=x²+1

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие

x ≥ –1, n – натуральное число. Докажите, что (1 + x)n ≥ 1 + nx.

Решение 1

Докажем неравенство индукцией по n.

База. При n = 1 неравенство превращается в равенство.

Шаг индукции. Пусть уже доказано, что (1 + x)n ≥ 1 + nx. Тогда (1 + x)n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx² ≥ 1 + (n + 1)x.

Решение 2

Пусть a > 1. Рассмотрим функцию f(x) = (1 + x)a – ax – 1, определенную при x > –1. Ее производная f'(x) = a(1 + x)a–1 – a = a((1 + x)a–1 – 1) положительна при x > 0 и отрицательна при –1 < x < 0. Следовательно, f(x) ≥ f(0) = 0 на всей области определения.

Замечания

1. Неравенство превращается в равенство не только при n = 1, но и при x = 0 . В остальных случаях оно строгое.

2. При x ≥ 0 (такое ограничение дано в источнике) неравенство Бернулли сразу следует из формулы бинома: (1 + x)n = 1 + nx + ... .

3. Из решения 2 видно, что неравенство верно и при нецелых n > 1.