Найдите значение выражения : tg(1/2 arctg 3)

Tg(1/2*π/3)=tg(π/6)=√3/3

{  tg x*tg y = 1/3 {  sin  x*sin y = 1/4 преобразуем  так {  sin  x/cos x*sin y/cos y = (sin x*sin  y)/(cos  x*cos  y)  = 1/3 {  sin  x*sin y = 1/4 отсюда {  sin  x*sin y = 1/4 {  cos  x*cos  y  =  ( sin  x*sin y ) /  (1/3)  = (1/4) / (1/3) = 3/4 при  этом  мы знаем, что sin^2 y + cos^2 y = 1; cos y = √(1  -  sin^2  y) sin  y = 1/(4sin x);   cos y = √(1 -  1/(16sin^2  x))  = √(16sin^2  x  -  1)  /  (4sin  x) подставляем  во  2 уравнение cos  x* √(16sin^2  x  -  1)  /  (4sin  x)  =  3/4 умножаем все на 4 tg  x* √(16sin^2  x  -  1)  =  3  √(16sin^2  x  -  1) = 3/tg x = 3ctg x 16sin^2 x = 1  +  9ctg^2 x есть  формула sin^2  a  =  1/(1  +  ctg^2  a) подставляем 16  /  (1 +  ctg^2  x) = 1  +  9ctg^2 x 16  =  (1 + 9ctg^2 x)(1 + ctg^2 x) замена ctg^2 x  =  t > = 0 при любом х 16  =  (1 +  9t)(1  +  t)  = 1 + 10t + 9t^2 9t^2  +  10t - 15 = 0 d/4  = 5^2  - 9(-15) = 25 + 135 = 160 = (4√10)^2 t1  =  (-5  -  4√10)/9  < 0 t2  =  (-5 +  4√10)/9  = ctg^2 x 1 + ctg^2 x = 1 + (4√10 -  5)/9 = (9  + 4√10  -  5)/9 = (4√10 +  4)/9 sin^2 x = 1/(1+ctg^2  x) = 9/(4(√10+1)) = 9(√10-1)/(4(10-1)) =  (√10-1)/4 sin x = √(√10  -  1) / 2 x  = (-1)^n*arcsin [ √(√10  -  1) / 2 ]  + pi*n sin  y = 1/(4sin x)  = 2/(4√(√10 - 1)) =  1/(2√(√10 - 1))  =  √(√10 - 1)/(2(√10 - 1)) y = (-1)^n*arcsin [ √(√10 - 1)/(2(√10 - 1)) ] + pi*n

Пусть х ≡ a (mod 5), где а = {±2, ±1, 0}. тогда и у ≡ a (mod 5), так как прибавление к числу пятерки не изменяет остаток от деления на 5. преобразуем выражение: х^5у - ху^5 = ху(х^4 + у^4). х ≡ a (mod 5) и у ≡ a (mod 5), тогда ху ≡ a^2 (mod 5). х ≡ a (mod 5) и у ≡ a (mod 5), тогда х^4 ≡ a^4 (mod 5) и у^4 ≡ a^4 (mod 5), следовательно х^4 + у^4 ≡ 2a^4 (mod 5). получаем: ху(х^4 + у^4) ≡ a^2 * 2а^4 (mod 5) < => ху(х^4 + у^4) ≡ 2а^6 (mod 5). осталось только подставить а = {±2, ±1, 0} и проверить, какие остатки эти числа.