Решить неравенство: (1-4х)(5-х)(4х-3) ≥ 0

Решаем  методом интервалов  пусть данное произведение равно 0, тогда корни его  1-4х=0 или 5-х=0 или 4х-3=0. из  этих условий х=1/4  или х=5 или х=3/4. нанесём эти значения на координатную прямую и расставим знаки в каждом промежутке. ответы выберем под знаком + и =. ответ закрытый промежуток от1/4 до 3/4 и от 5 до бесконечности.

N⁴ + 2n³ - n² - 2n = n(n³ + 2n² - n - 2) = n[n²(n + 2) - (n + 2)] =  = n(n² - 1)(n + 2) = n(n - 1)(n + 1)(n + 2) = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) т.к. n > 1, то данное произведение будет положительным. мы видим, что произведение представлено в виде четырёх последовательных натуральных чисел. среди 4 последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на 4, поэтому произведение обязательно делится на 4. среди 3 последовательных натуральных одно обязательно делится на 3, поэтому произведение делится и на 3. среди двух последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на 2. значит, среди чисел одно делится обязательно на 4, одно на 3 и какое-то ещё на 2 (это число не будет делиться на 4). значит, всё произведение делится на 2·3·4 = 24, что и требовалось доказать. 

Разделим на 5: 4sina + 3cosa = 5(sina·4/5 + cosa·3/5). мы знаем, что cos(arccosx) = x, sin(arcsinx) = x и sin²x + cos²x = 1 (4/5)² + (3/5)² = 1, значит, 4/5 = cos(arccos(4/ 3/5 = sin(arccos(4/5)) тогда 5[sina·cos(arccos(4/5)) + cosa·sin(arccos(4/5))]  используя формулу синуса суммы аргументов получаем: 5[sin(a + arccos(4/5)] мы знаем, что e(sina) = [-1; 1]. тогда e(sin(a + arccos(4/5)] = [-1; 1] e(5[sin(a + arccos(4/5)]) = [-5; 5]. наибольшее значение равно 5. ответ: 5. p.s.: e(y) - область значений функции.