Буратино собирается купить три книги: первая стоит треть всех его денег и ещё 3 золотых, вторая - четверть всех его и ещё 4 золотых, а третья - пятую часть всех его денег и ещё 5 золотых. после покупки у него останется один золотой. сколько золотых стоит первая книга ?

Пусть  х   - имеющиеся у буратино деньги. тогда первая книга стоит: (х/3  + 3);   вторая: (х/4 +4); третья: (х/5 +5), по условию после покупки трех книг у наго останется одна монета,т.е. книги стоят: х/3 +3 + х/4 +4 + х/5 +  5 = х -1; 20х/60 + 15х/60 + 12х/60 + (3+4+5+1)·60: 60 = 60х/60; 780 = 13х, х =  60 (монет) тогда стоимость первой книги: 60: 3  +  3 = 23 (монеты) проверка: цена второй книги: 60: 4 + 4  = 19(монет),  третьей: 60 : 5 + 5 = 17(монет) и после покупки останется: 60 - (23+19+17) = 1.

xy(x-1)(y-1)=72

(x+1)(y+1)=20

xy(xy + 1 - (x+y)) = 72

xy + x+y + 1 = 20       x+y = 19 - xy

xy(xy + 1 - 19 + xy) = 72

2(xy)^2 - 18 xy - 72 = 0

(xy)^2 - 9xy - 36 = 0

d = 81 + 144 = 225

(xy)₁₂ = (9+-15)/2 = 12   -3

1. xy=12

(x-1)(y-1)=6

xy - x - y + 1 = 6

x+y=7

x=7-y

(7-y)y = 12

y^2-7y + 12=0

d=49 - 48 = 1       y₁₂ = (7+-1)/2 =   3 4   x₁₂ = 4   3

2. xy = -3

(x-1)(y-1)=- 24

xy - x - y + 1 = -24

x+y = 25 + xy

x+y=22

x=22-y

(22-y)y = -3

y^2-22y - 3=0

d=484+   12 = 496       y₃₄ = (22+-4√31)/2 =   11+-2√31   x₃₄ = 11-+2√31

ответ (3, 4) (4, 3) (11+2√31,   11-2√31) (11-2√31,   11+2√31)

по теореме виета если в уравнении ax^2+bx+c=0 есть корни x1 x2, то их можно представить как

x1+x2=-b/a

x1*x2=c/a

у нас a=1 b = p c=1

x1+x2=-p

x1*x2=1

a. 1/x1+1/x2 = приводти к общему знаменателю = (x1+x2)/x1*x2 = -p/1 = -p

б. используем (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

x1^2 + x2^2 = x1^2 + 2x1*x2 + x2^2 - 2x1*x2 = (x1+x2)^2 - 2x1*x2 = (-p)^2 - 2*1 = p^2 - 2

в. x1/x2 + x2/x1 = (x1^2 + x2^2)/x1*x2 = используем б = (p^2-2)/1 = p^2-2

г. используем x^3+y^3=(x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x++y)^2 - 3xy)

x1^3 + x2 ^ 3 = (x1 + +x2)^2 - 3x1x2) = (-)^2 - 3*1) = -p(p^2-3)