Какое максимальное количество треугольников можно построить из 6 спичек? примечание: сторона любого треугольника равна длине спички.

от каждой вершины вверх соединяем ещё спички.

                          -                                    +                                                            - ,               ответ: [0; 1,5]

Сначала применим к данному выражению формулу тангенса разности: tg(альфа-pi/3) = (tg α - tg π/3) / (1 + tg α * tg π/3) = (tg α - √3) / (1 + √3tg α) теперь приравняем и из равенства получим уравнение, откуда найдём tg α:   (tg α - √3) / (1 + √3tg α) = √3/4 теперь решим уравнение:   (tg α - √3) / (1 + √3tg α) - √3/4 = 0 (4tg  α - 4√3 - √3 - 3 tg α) / 4(1 + √3tg α) = 0   (tg α - 5√3) / 4(1 + √3tg α) = 0 дробь равна 0 тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель не равен 0:   tg α - 5√3 = 0 tg α = 5√3 значение тангенса мы нашли. прежде чем найти котангенс по соотношению  ctg α   = 1/tg α, сначала проверим, а то ли это значение тангенса. для этого исследуем знаменатель вышеозначенной дроби на нуль:   4(1 + √3tg α) ≠ 0 1 + √3tg α ≠ 0 √3tg α ≠ -1 tg α ≠ -√3/3     значит, мы получили верное значение тангенса. теперь всё проще пареной репы:     ctg α = 1 / tgα ctg α = 1 : 5√3 = √3 / 15