Сколько решений имеет система уравнений x^2+y^2+xy=a x^2-y^2=кор. куб. из (a) где, а – произвольное вещественное число.

долго думал)

итак, первое уравнение определяет эллипс, а второе- гиперболу.

следовательно, решений может быть либо 0, либо 2, либо 4.

требуется преобразовать систему координат таким образом, чтобы уравнения приобрели более простой вид.

воспользуемся стандартным алгоритмом уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

a11*x^2+2*a12*x*y*+a22*y^2=a

a11, a12, a22 - известные коэффициенты, в нашем случае a11=a22=1, a12=0.5.

угол, на который нужно повернуть систему координат, чтобы убить член xy: tg(2*alpha)=2*a12/(a11-a22)

в знаменателе 0 => tg = бесконечность => 2*alpha=90, alpha = 45.

крутим ск на 45 градусов.

из аналитической известно, что выражения старых координат через новые:

x=x'*cos(alpha)-y'*sin(alpha)

y=x'*sin(alpha)+y'cos(alpha)

 

подставим в первое уравнение основной системы. получим

x'^2+y'^2 = 2a/3                это

во втором уравнении

y' = (-a^(1/3))/(2*x')    это гипербола.

 

теперь рассматриваем различные случаи значений а.

а=0 => одно решение (0; 0)

подставив y' из ур-я гиперболы в ур-е окружности, получим биквадратное уравнение относительно x'.

x'^4 - (2a/3)*x'^2+4*a^(2/3) = 0

исследуем его дискриминант.

(1/9)*a^4-a^(2/3) > = 0 , откуда a^(10/3) > =9 => a> = 9^(3/10)

ответ: a=0 один корень

    а = 9^(3/10) два корня

  a > 9^ (3/10) четыре корня!

12 - 4х - х²  ≥ 0                 -∞     -6         2       +  ∞ х + 1  ≠ 0                                     iiiiiiiiii                                                     x  ≠  -1 ответ: -6;   -5;   -4;   -3;   -2;   0;   1;   2               8 чисел                 

1) 30,8 х 2,4 = 73, 92 (км)            30,8     х     2,4         1232   +   616         73,92 2) 73,92 - ( 1,9 х 2,4) = 69,36 (км) прошёл теплоход против течения за 2,4 часа. 1)  1,9 х   2,4       76 +  38   4,56   3) (30,8 + 1,9) х 1,5 = 49,05 (км) - прошёл теплоход по течению за 1,5 часа. 1) 30,8       2) 32,7   +   1,9       х     1,5     32,7           1635                 +   327                     49,05 4) 69,36 + 49,05 = 118,41(км) - прошёл теплоход всего. ответ: 118,41 километр.