1) докажите, что при любом натуральном n число 2*7^2n+16^n+8*5^n кратно 11 2) при каких значениях параметра а уравнение (a+1)*x^2-(2a+5)*x+a=0 имеет два действительных корня, больших -1? 3)вычислите: [(sqrt(1-sin^2(153*))+sqrt(tg^2(207*)-sin^2(207*)]*sin(63*)

1. будем доказывать методом индукции.

проверяем истинность утверждения при n = 1:

а) 2*49 + 16 + 40 = 154 = 11*14  -  делится на 11.

б) предположим, что 2*7^(2k) + 16^k +8*5^k    - делится на 11. где k - произвольное натуральное число.

в) докажем, что тогда при n = k+1 полученное выражение - тоже делится на 11:

теперь четко видно что оба больших слагаемых делятся на 11:

первое - исходя из предположения, второе - имеет 11 как общий сомножитель для своих слагаемых.

итак мы доказали , что если при произвольном n= k выражение делится на 11, то и при n = k+1 выражение делится на 11.

значит исходное выражение делится на 11.  что и требовалось доказать.

2)

d> 0      a> -25/16    a> -1,5625

разбиваем одз на две части:

а) (-1; беск)

 

первое из написанных неравенств верно. проверим второе:

16a+25< 16a^2+56a+49

корни  -1; -1,5    решение с учетом одз: (-1; беск)

б) (-1,5625; -1)

 

правая чать на выбранной области - отрицательна, что недопустимо. здесь решений нет.

ответ: (-1; бескон).

3.

ответ: 1

 

1.так как легковая машина выехала на 10 минут позже и прибыла на 5 минут раньше, то её время, потраченное на путь из а в б меньше времени грузовика на15 минут, или на 1/4 часа.

 

пусть скорость грузовика = х км/ч тогда скорость легкового автомобиля х+20км/ч

 

время которое грузовик был в пути = 30/х, время которое автомобиль был в пути = 30/(х+20)

 

теперь составим уравнение: 30/х - 30/(х+20)-1/4=0

 

30(4х+80) - 120х -(x^2+20x) = 0

120x + 2400 - 120x - x^2 - 20x = 0

-x^2 - 20x + 2400 = 0

x^2 + 20x - 2400 = 0

d= 400 + 9600 = 10000 = 100^2

x1 = (-20 - 100)/2 = -60 -   не   удовлетворяет условию (скорость не может быть отрицательной)

x2= (-20 +100)/2 = 40 км/ч - скорость грузовика

40+20=60 км/ч - скорость легкового автомобиля.

ответ: скорость легкового автомобиля = 60км/ч

логарифм число, применение которого позволяет многие сложные операции арифметики. использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволяет заменить умножение более простой операцией сложения, деление - вычитанием, возведение в степень - умножением и извлечение корней - делением. общее описание. логарифмом данного числа называется показатель степени, в которую нужно возвести другое число, называемое основанием логарифма, чтобы получить данное число. например, логарифм числа 100 по основанию 10 равен 2. иначе говоря, 10 нужно возвести в квадрат, чтобы получить число 100 (102 = 100). если n - заданное число, b - основание и l - логарифм, то bl = n. число n также называется антилогарифмом по основанию b числа l.